problema del duque de toscana

El problema del duque de Toscana (1560)
El duque de Toscana fue un jugador empedernido, y había observado que en un juego en el que se tiran tres dados y se suman los puntos, el 10 aparecía másveces que el 9. Sin embargo, según el duque, ambos números se pueden obtener de las seis maneras que se listan.
1+2+6=9 \ 1+3+6=10
1+3+5=9 \ 1+4+5=10
1+4+4=9 \ 2+2+6=10
2+2+5=9 \ 2+3+5=10
2+3+4=9 \2+4+4=10
3+3+3=9 \ 3+3+4=10
Cardano fue consultado y estudió el problema, pero no encontró respuesta satisfactoria. Fue Galileo quien encontró la solución 50 años más tarde; para ello contó todoslos casos posibles y, por primera vez, presentó los datos en tablas de distribución, como la siguiente, que corresponde al problema anterior: 

El 9 se obtiene de las siguientes maneras: (6,1,2),(6,2,1), (5,1,3), (5,2,2), (5,3,1), (4,1,4), . . . ,(1,6,2). En total, hay 25 maneras de obtener 9. El 10 se obtiene de 27 maneras distintas: (6,1,3), (6,2,2), (6,3,1), (5,1,4), (5,2,3),(5,3,2),... Por lo tanto, es normal que el 10 ocurra con más frecuencia que el 9. 
 
Suma de los puntos
con 3 dados
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Número de maneras 
de obtenerlos
13
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
 
Los problemas del Caballero de Méré (1650)
Antoine de Gambaud, Chevalier de Méré, fue jugador, hombre de letras y cortesano muy conocido enla corte del rey Luis XIV de Francia. Su primer problema es parecido al del duque de Toscana: ¿Cómo puede ser que el 11 ocurra más veces que el 12 cuando se tiran tres dados si ambos números se puedenformar de seis maneras distintas? El Caballero de Méré consultó a su amigo Blaise Pascal quien, mediante ese problema, empezó a interesarse por las probabilidades y resolvió este mismo problema(utilizó el mismo método que Galileo) y muchos más. 

Para el segundo problema del Caballero de Méré, Pascal pidió la opinión de Fermat y escribió (1654): "El Caballero de Méré es muy talentoso, pero...