Problema2 1

Problema: Si se supone que el arrastre es proporcional al cuadrado de la velocidad, se puede modelar la velocidad de un objeto que cae, como un paracaidista por medio de la ecuación diferencial siguiente:

Donde V es la velocidad (m/s), t=tiempo(s), g es la aceleración de la gravedad (9,81m/), Cd= Coeficiente de arrastre de segundo orden (kg/m), y m=masa (kg). Resuelva para la velocidad ydistancia que recorre un objeto de 90kg con coeficiente de arrastre de 0,225(kg/m). Si la altura inicial es de 1km, determine en qué momento choca con el suelo. Obtenga la solución con a) el método de Euler, y b) el método de RK de cuarto orden.
Planteo:
¿Por qué se deben dominar los métodos numéricos y la programación de computadoras para resolver los problemas? Además del hecho que a diario seobserva que las computadoras intervienen en las actividades más comunes de la vida diaria, ¿habrá alguna contribución esencial que estas maquinas, con sus capacidades decididamente sobrehumanas, puedan hacer a las tareas y retos de los ingenieros? Es totalmente factible, y eso lo que se trata de explicar en la resolución.
Primero se aplica el concepto de modelos matemáticos para ayudar a definir lo quese entiende por métodos numéricos y para ilustrar cómo pueden facilitar la solución de problemas en ingeniería. Para esto, se desarrolla aquí el modelo matemático de un proceso físico y se resuelve con un método numérico sencillo.
Un modelo matemático puede definirse, de una manera general, como una formulación o ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o procesofísico en términos matemáticos.
Recordando nuevamente a Newton para este ejemplo, la expresión matemática, o modelo, de su segunda ley es la bien conocida ecuación.
F=ma.
Donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo (en dinas, o gramo-centímetros por segundo cuadrados), m es la masa de objeto(en gramos), y a es la aceleración(en centímetros por segundo cuadrado).
Como tiene una forma algebraicasencilla, puede despejarse directamente la aceleración, quedando:

De esta forma, la aceleración puede calcularse fácilmente, sin embargo los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requieren de técnicas matemática más compleja, como por ejemplo el cuerpo en descenso de un paracaidista que se muestra en la siguientegrafica:


Para este caso puede crearse un modelo al expresar la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), sustituyendo en la ecuación anterior nos queda

Así, la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Si la fuerza total es positiva, el objeto acelera, si es negativa el objeto sufre unadesaceleración.
Ahora bien, cuando el cuerpo cae dentro del perímetro de la tierra la fuerza total está compuesto por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debido a la gravedad Fd y la fuerza hacia arriba debido a la resistencia del aire Fu, entonces:
F=Fd+Fu

Si la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a lagravedad como:
Fd=mg
Donde g es la aceleración debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 980 .
La resistencia del aire puede formularse de diferentes maneras. Una aproximación sencilla es suponer que es proporcional al cuadrado de la velocidad como:
Fu=-cv
Donde c es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de arrastre (en gramos por segundo). Así a mayor velocidad de caída,mayor es la fuerza hacia arriba debida a la recistencia del aire.
Ahora como sabemos que la fuerza total, es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y hacia arriba, entonces si remplazamos a esta ecuación:

Por lo que obtuvimos, nos queda la siguiente ecuación:

Ahora si dividimos cada lado por m, nos queda:

Esta ecuación es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae a...