problemario 5 La Parab la

PROBLEMARIO No. 4
´
LA PARABOLA
1. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola con los datos dados en cada caso:
a) V´ertice en (1, −1), foco en (4, 1).
b) V´ertice en (2, −3), foco en (2, 4).
c) V´ertice en (−1, 1), y − 3 = 0 como directriz .
d ) V´ertice en (−2, −1), x + 4 = 0 como directriz .
e) V´ertice en (3, −2), y = −5 como directriz .
f ) Foco en (−5, 2), x = −1 como directriz .
g) Foco en4(−1, 0), y − 4 = 0 como directriz .
h) Extremos del lado recto en (−3, 0) y (9, 0); v´ertice en (3, −3).
i ) Extremos del lado recto en (−1, 5) y (−1, −11); v´ertice en (−5, −3).
j ) V´ertice en (4, −3), eje paralelo al eje X, pasando por (0, −4).
k ) V´ertice en (3, 4), eje paralelo al eje Y , pasando por (−7, 9).
l ) Lado recto igual a 12, eje paralelo al eje X, pasando por (−1, −3) y (2, 3).
m) V(0, 0), su eje coincide con el eje Y , pasando por (−2, 4); ¿Cu´al es el foco de esta par´abola?.
n) Pasa por (5, 4), (5, −4) y por el origen ; su eje coincide con el eje X. Hallar tambi´en el foco de esta
par´
abola.
n
˜) Eje paralelo al eje Y , pasa por los puntos (−2, 3), (2, 1) y (10, 9).
2. Reducir cada una de las siguientes ecuaciones de par´abolas a su forma ordinaria (o can´onica, si hayalguna)
y encontrar todos sus elementos:
a) y 2 + 12x − 6y + 45 = 0

e) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0

b) x2 − 8x − 4y + 12 = 0

f ) y 2 + 4x = 7

c) y 2 + 16x + 8y16 = 0

g) 4x2 − 48y + 12x = 159

d ) 4y 2 − 48x − 20y = 71

h) y = ax2 + bx + c

3. Hallar los puntos de intersecci´
on de la recta x + y − 3 = 0 y la par´abola x2 = 4y.
4. Hallar los puntos de intersecci´
on de la recta 3x + 4y − 12 = 0 y lapar´abola y 2 = −9x.
5. Determinar, en los casos siguientes, la posici´on relativa de la recta y la par´abola: si la corta; si es tangente;
si pasa por fuera de ella:

a) x − y + 2 = 0, y 2 = 8x
b) 8x + 3y − 15 = 0, x2 = −3y
c) 5x − y − 15 = 0, y 2 = −5x
6. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola que pasa por los puntos (2, 3) y (11, 9), tiene sus eje paralelo al eje X y
lado recto igual a 12.
7.Hallar la ecuaci´
on de una par´
abola cuyo v´ertice est´a sobre la recta 2y − 3x = 0, que su eje sea paralelo al
eje X y que pase por los puntos (3, 5) y (6, −1).
8. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola que pasa por los puntos (5, −3) y (14, −9), tiene sus eje paralelo al eje
X y lado recto igual a 12.
9. Hallar la ecuaci´
on de la par´
abola cuyo eje sea paralelo al eje X y que pase por lospuntos (3, 3) , (6, 5) y
(6, −3).
10. Hallar la ecuaci´
on de una par´
abola de eje vertical y que pase por los puntos (4, 5) , (−2, 11) y (−4, 21).
11. Hallar la ecuaci´
on de la circunferencia que tiene como di´ametro el lado recto de la par´abola y 2 = 10x.
12. Hallar la ecuaci´
on de la circunferencia que tiene como di´ametro el lado recto de la par´abola
(x − 3)2 = −10(y + 3).
13. Determine laecuaci´
on de la parab´
ola que tiene de foco el punto (−2, −1) y cuyo lado recto es el segmento
entre los puntos (−2, −2) y (−2, 4).
14. Encuentre la ecuaci´
on de la parab´
ola cuyo v´ertice est´e sobre la recta 2y − 3x = 0, que su eje sea paralelo
al de coordenadas de x, y que pase por los puntos (3, 5) y (6, −1).
15. Determine la ecuaci´
on de la parab´
ola que tiene inscrito al tri´angulo delados:
l1 : 3x + y − 13 = 0
l2 : 5x − 2y − 18 = 0
l3 : 2x − 3y + 6 = 0
16. Hallar la ecuaci´
on de la recta tangente y la normal para la parab´ola y 2 − 4x = 0 en el punto de contacto
(1, 2).
17. Hallar la ecuaci´
on de la recta tangente y la normal para la parab´ola x2 − 6x + 5y − 11 = 0 en el punto de
contacto (−2, −1).
18. Hallar la ecuaci´
on de la tangente de pendiente −1 a la parab´ola y 2 −8x = 0
19. Hallar la ecuaci´
on de la tangente a la parab´ola x2 +4x+12y−8 = 0 que es paralela a la recta 3x+9y−11 = 0.
20. Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (−3, 3) a la parab´ola y 2 − 3x − 8y + 10 = 0.

SOLUCIONES
1.

a) (y + 1)2 = 12(x − 1)

i ) (y + 3)2 = 16(x − 3)

b) (x − 2)2 = 28(y + 3)

1
j ) (y + 3)2 = − (x − 4)
4

c) (x + 1)2 = −8(y − 1)

k ) (x − 3)2 =...