Problemario Aplicaciones De La Derivada
Páginas: 11 (2552 palabras)
Publicado: 18 de junio de 2012
Problemario de aplicaciones de derivadas
1. Use el criterio de la primera derivada para los máximos y mínimos relativos y haga la gráfica correspondiente
[pic]
2. En los siguientes ejercicios encuentre
a) los intervalos de concavidad,
b) los puntos de inflexión,
c) los máximos y mínimos relativos utilizando el criterio de la segunda derivada
[pic]
Resuelva los siguientesproblemas de aplicación
3. Ingreso y utilidad máximos. El costo de producir x artículos por semana es
[pic]
pero no más de 3000 artículos pueden producirse por semana. Si la ecuación de demanda es
[pic]
encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso y el nivel que maximiza la utilidad.
4. Costo promedio. Un fabricante encuentra que el costo total c de producir un producto está dado por lafunción de costo [pic] ¿para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?.
5. Ingreso. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es [pic], encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.
6. Encuentre las dimensiones necesarias para obtener un volumen máximo en la construcción de una caja sin tapa, a partir de una hoja de cartulinacuadrada de 20 cm de lado, donde la altura de la caja la definiremos por X (longitud que se corta en las esquinas, doblando hacia arriba las pestañas así generadas, para construir la caja) y el volumen lo definiremos por Y.
Ejercicios de funciones:
Ejemplo función directa
El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso del cuerpo, y una persona que pesa 68 Kg.Observa un peso cerebral aproximado de 1.8 Kg.
En base a lo anterior:
a) expresa el peso aproximado en kilogramos del cerebro de una persona como función de su peso corporal.
b) Calcular el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es de 80 Kg.
Solución: sea [pic]Kg. El peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es [pic]Kg. Entonces.
[pic]
como el peso deuna persona es de 68 Kg., ésta tiene un peso cerebral aproximado de 1.8 Kg. Se substituye en la expresión, convirtiendo los Kgs., a libras, nos da.
I Kg. = 2.2045 lb. 68 Kg. = 150 lb. Y 1.8 Kg. = 4 lb.
[pic]
se sustituye [pic] con su valor para resolver el inciso (a)
[pic] para el inciso (b) se obtiene:
[pic] lb. En Kg. será igual a 2.13 para una personade 80 Kg.
Ejemplo función inversa.
La iluminancia producida por la luz de cierta fuente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde ella.
a) Expresar la iluminancia en luxes (lx) como función de distancia en metros en función de la fuente si la iluminancia vale 225 lx a una distancia de 5 m.
b) Hallar la magnitud en un punto a 12 m. De dicha fuenteluminosa.
Solución: Sea [pic]luxes la iluminancia a una distancia de x metros. Entonces
[pic] como la iluminancia vale 225 lx a una distancia de 5 m. De la fuente se obtiene: [pic]
sustituyendo este valor de k en la expresión : [pic]
Para el inciso (b) resulta: [pic]luxes
En los siguientes ejemplos determine la función matemática que modele la situación planteada.
7.- El periodo de unpéndulo (tiempo que transcurre tras una oscilación completa) es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del mismo, y un péndulo de 8 pies de longitud tiene un periodo de 3 seg.
a) Exprese el periodo de un péndulo como función de su longitud.
b) Determine el periodo de un péndulo de 2 pies de longitud.
8.- Un paquete en forma de caja rectangular con una sección transversalcuadrada tendrá la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal igual a 100 pulg.
a) Si x es la longitud del paquete, exprese el volumen de la caja como función de x
b) ¿cuál es el dominio de la función resultante.
9.- Naranjos que se cultivan en California producen 600 naranjas al año, si no se plantan más de 20 árboles por acre. Por cada árbol adicional plantado por...
1. Use el criterio de la primera derivada para los máximos y mínimos relativos y haga la gráfica correspondiente
[pic]
2. En los siguientes ejercicios encuentre
a) los intervalos de concavidad,
b) los puntos de inflexión,
c) los máximos y mínimos relativos utilizando el criterio de la segunda derivada
[pic]
Resuelva los siguientesproblemas de aplicación
3. Ingreso y utilidad máximos. El costo de producir x artículos por semana es
[pic]
pero no más de 3000 artículos pueden producirse por semana. Si la ecuación de demanda es
[pic]
encuentre el nivel de producción que maximiza el ingreso y el nivel que maximiza la utilidad.
4. Costo promedio. Un fabricante encuentra que el costo total c de producir un producto está dado por lafunción de costo [pic] ¿para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad?.
5. Ingreso. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es [pic], encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo.
6. Encuentre las dimensiones necesarias para obtener un volumen máximo en la construcción de una caja sin tapa, a partir de una hoja de cartulinacuadrada de 20 cm de lado, donde la altura de la caja la definiremos por X (longitud que se corta en las esquinas, doblando hacia arriba las pestañas así generadas, para construir la caja) y el volumen lo definiremos por Y.
Ejercicios de funciones:
Ejemplo función directa
El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso del cuerpo, y una persona que pesa 68 Kg.Observa un peso cerebral aproximado de 1.8 Kg.
En base a lo anterior:
a) expresa el peso aproximado en kilogramos del cerebro de una persona como función de su peso corporal.
b) Calcular el peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es de 80 Kg.
Solución: sea [pic]Kg. El peso aproximado del cerebro de una persona cuyo peso es [pic]Kg. Entonces.
[pic]
como el peso deuna persona es de 68 Kg., ésta tiene un peso cerebral aproximado de 1.8 Kg. Se substituye en la expresión, convirtiendo los Kgs., a libras, nos da.
I Kg. = 2.2045 lb. 68 Kg. = 150 lb. Y 1.8 Kg. = 4 lb.
[pic]
se sustituye [pic] con su valor para resolver el inciso (a)
[pic] para el inciso (b) se obtiene:
[pic] lb. En Kg. será igual a 2.13 para una personade 80 Kg.
Ejemplo función inversa.
La iluminancia producida por la luz de cierta fuente es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde ella.
a) Expresar la iluminancia en luxes (lx) como función de distancia en metros en función de la fuente si la iluminancia vale 225 lx a una distancia de 5 m.
b) Hallar la magnitud en un punto a 12 m. De dicha fuenteluminosa.
Solución: Sea [pic]luxes la iluminancia a una distancia de x metros. Entonces
[pic] como la iluminancia vale 225 lx a una distancia de 5 m. De la fuente se obtiene: [pic]
sustituyendo este valor de k en la expresión : [pic]
Para el inciso (b) resulta: [pic]luxes
En los siguientes ejemplos determine la función matemática que modele la situación planteada.
7.- El periodo de unpéndulo (tiempo que transcurre tras una oscilación completa) es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del mismo, y un péndulo de 8 pies de longitud tiene un periodo de 3 seg.
a) Exprese el periodo de un péndulo como función de su longitud.
b) Determine el periodo de un péndulo de 2 pies de longitud.
8.- Un paquete en forma de caja rectangular con una sección transversalcuadrada tendrá la suma de su longitud y el perímetro de la sección transversal igual a 100 pulg.
a) Si x es la longitud del paquete, exprese el volumen de la caja como función de x
b) ¿cuál es el dominio de la función resultante.
9.- Naranjos que se cultivan en California producen 600 naranjas al año, si no se plantan más de 20 árboles por acre. Por cada árbol adicional plantado por...
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