Problemario De Cálculo 20

Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniería
PROBLEMARIO DE CALCULO 20

Semestre A-2010

TEMA 1 DERIVADAS
1. Derivada en un punto. Derivabilidad. Derivadas laterales. (a) Encuentre las pendientes de las recta tangente a la curva y = x2 + 1 en los puntos en donde x = −2, −1, 0, 1, 2

(b) Suponga que un objeto se mueve a lo largo de un eje coordenado de √ modo que su distanciadirigida, medida desde el origen, despu´s de t segundos es 2t + 1 pies. e i. Encuentre su velocidad instant´nea en t = α, α > 0. a ii. ¿Cu´ndo alcanzar´ una velocidad de 1/2 pie por segundo? a a

(c) Debido a un derrame, el radio de una mancha circular de aceite est´ creciendo a a una velocidad constante de 2 kil´metros por d´ ¿A qu´ velocidad est´ creciendo o ıa. e a el ´rea del derrame 3 d´ despu´s deque inicio?. a ıas e (d) En los siguientes ejercicios use la definici´n de derivada para calcular los que se o indica: i. Si f (x) = x2 + 3x + 4, calcule f ′ (1). ii. Si f (x) = x cos x, calcule f ′ (π). (e) En cada uno de los siguientes ejercicios se da un l´ ımite que es una derivada f ′ (x0 ) de alguna funci´n f (x) en alg´ n punto x0 de su dominio. Identifique la funci´n o u o f (x) as´ como elpunto x0 . Calcule el l´ ı ımite indicado. √ √ 4 4 5+h− 5 i. lim h−→0 h 2h4 + 3h2 + 5h ii. lim h−→0 h (f) En los siguientes ejercicios estudie la derivabilidad de la funci´n f (x) en el punto o x0 indicado. i. f (x) = |x2 − 1|, en x0 = 1 y x0 = −1. ii. x2 + 3x + 2 si x ≤ 1 f (x) = , x0 = 1 4x + 1 si x > 1 iii. f (x) = |x − 3| en x0 = 0, iv.   x2 − 1 si x = 1 f (x) = , x0 = 1  2x − 1 si x = 12. La funci´n derivada. Derivada de funciones elementales (tabla de derivadas). o Propiedades de la derivada. 1

(a) En cada uno de los siguientes problemas encuentre la derivada de f (x) utilizando las reglas de esta secci´n. o f (x) = 3x3 , f (x) = (3x2 + 2x)(x4 − 3x + 1), f (x) = f (x) = 2 sin x + 3 cos x , cot x + tan x x cos x + sin x , x2 + 1 f (x) = f (x) = 3x2 1 , +1

x2 − x + 1 ,x2 + 1

f (x) = sin2 x, f (x) = ex cot x + 1 , sin x + ln x

f (x) = sin x sinh x + cos x cosh x, f (x) = sec3 x. (b) Si f (0) = 4, f ′ (0) = −1, g(0) = −3, g ′ (0) = 5, encuentre (a) (f.g)′ (0), (b) (f + g)′ (0), (c) (f /g)′(0). (c) Utilice la regla del producto para mostrar que Dx [f (x)]2 = 2f (x)Dx [f (x)]. (d) Utilice la definici´n de derivada para demostrar que Dx (sin(x2 ) = 2x cos(x2 ).o 3. Interpretaci´n geom´trica de la derivada: Recta tangente y recta normal. o e Relaci´n entre funciones continuas y funciones derivables. o (a) Encuentre la ecuaci´n de las rectas tangente y normal a y = x2 − 2x + 2 en el o punto (1, 1). (b) Encuentre todos los puntos en la gr´fica de y = x3 − x2 donde la recta tangente a es horizontal. (c) Una mosca se arrastra de izquierda a derecha a lo largode la parte superior de la curva y = 7 − x2 . Una ara˜ a espera en el punto (4, 0). Determine la distancia n entre los dos insectos cuando se ven por primera vez. √ √ a (d) Demuestre que las curvas y = 2 sin x y y = 2 cos x se intersectan en un ´ngulo recto en cierto punto con 0 < x < π/2. (e) ¿En qu´ punto la recta tangente a la par´bola y = x2 − 7x + 3 es paralela a la e a recta 5x + y − 3 =0?. (f) Establezca una ecuaci´n de la recta normal a la par´bola y = x2 − 5x + 4 que es o a paralela a la recta x − 3y = 5.

(g) ¿D´nde corta por segunda vez la normal a la par´bola y = x − x2 que pasa por o a el punto (1, 0) a la misma par´bola? a (h) Hallar una funci´n c´ bica y = ax3 + bx2 + cx + d cuya gr´fica tiene una tangente o u a horizontal en los puntos (−2, 6) y (2, 0). 2

4. Derivadade la funci´n compuesta (regla de la cadena). o (a) Hallar la derivada de las siguientes funciones: f (x) = ( ax + b 3 ) , c f (x) = √ 1 − x2 ,

f (x) = (3 − 2 sin x)5 f (x) = csc2 x + sec2 x, f (x) = f (x) = √ 3 2ex − 2x + 1 + ln6 x,

f (x) = 2x + 5 cos3 x, f (x) = √ xex + x,

f (x) = ln(ex + 5 sin x − 4 arcsin x), f (x) = sin3 (5x) cos2 (x/3)

1 , 5x 2 x2 − 1 , x2

1 f (x) = √ cos x...