Problemario GeometriaPlano2011

PROBLEMARIO
DE
GEOMETRIA ANALITICA
EN EL
PLANO.

FACULTAD DE MATEMATICAS
UNIVERSIDAD VERACRUZANA

2010

Xalapa, Ver. M´exico

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1. La distancia entre dos puntos en la recta real es 5. Si uno de los puntos es A(2),
hallar el otro punto.
2. Los v´ertices de un tri´angulo rect´angulo son los puntos A(1, −2), B(4, −2), C(4, 2).
Determinar las longitudes de los catetos y de la hipotenusa, despu´escalcular el ´area
del tri´angulo.

3. Demostrar anal´ıticamente que el punto medio de la hipotenusa de un tri´angulo
rect´angulo equidista de los tres v´ertices.

4. Uno de los extremos de un segmento es el punto A(3, 1). Si el punto P (2, 4) divide
al segmento en cuatro partes iguales, hallar el otro extremo.

5. Hallar la ecuaci´on que debe satisfacer cualquier punto P (x, y) que pertenezca a larecta que pasa por los puntos A(2, −1) y B(4, 3).

6. Los puntos extremos de un segmento son los puntos P1 (2, 3) y P2 (5, 6). Hallar el
punto P (x, y) que divide al segmento en dos partes tales que P2 P : P P1 = −1.
7. Uno de los extremos de un segmento es (8, 9), y su punto medio es (−2, 4). Hallar
el otro extremo.
8. Demostrar que los cuatro puntos (2, 4), (7, 3), (6, −2) y (1, −1) sonv´ertices de un
cuadrado, pruebe tambi´en que sus diagonales son perpendiculares y que se dividen
mutuamente en partes iguales.

9. Dos de los v´ertices de un tri´angulo equilatero son los puntos (5, 2) y (1, 1). Hallar
el tercer v´ertice (dos soluciones).

10. Determinar la expresi´on algebraica que establece el hecho de que el punto P (x, y)
equidista de los puntos A(2, 3) y B(−1, 5).

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11. Hallar laexpresi´on algebraica que establece el hecho de que el punto P (x, y) se
encuentra a 5 unidades del punto (2, 3). Simplificar tal expresi´on.
12. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual
a la suma de los cuadrados de sus diagonales.
13. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de
un trapecio es paralelo a las bases.
14.Determinar cu´ales de los puntos M1 (3, 1), M2 (2, 3), M3 (6, 3), M4 (−3, −3), M5 (3, −1),
M6 (−2, 1), est´an situados en la recta
2x − 3y − 3 = 0.
15. El ´area de un tri´angulo es S = 8 unidades cuadradas, dos de sus v´ertices son los
puntos A(1, −2), B(2, 3) y el tercer v´ertice C est´a situado en la recta
2x + y − 2 = 0.
Determinar las coordenadas del v´ertice C.
16. Hallar la ecuaci´on de larecta que pasa por el punto P (3, 5) y equidista de los puntos
A(−7, 3) y B(11, −15).
17. Demostrar que la condici´on de perpendicularidad de las rectas
A1 x + B1 y + C1 = 0,

A2 + B2 y + C2 = 0

puede escribirse en la forma siguiente:
A1 A2 + B1 B2 = 0.
18. Demostrar que se pueden trazar por el punto P (2, 5) dos rectas de manera que
sus distancias al punto Q(1, 2) sean iguales a 3. Hallar lasecuaciones de estas dos
rectas.
19. Hallar la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(3, 1) y B(−1, 3)
y su centro est´a situado en la recta
3x − y − 2 = 0.

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20. El punto C(3, −1) es el centro de una circunferencia que intersecta en la recta
2x − 5y + 18 = 0
una cuerda de longitud igual a 6. Hallar la ecuaci´on de esta circunferencia.
21. Deducir la condici´on seg´
un la cu´al, larecta y = kx+b es tangente a la circunferencia
x2 + y 2 = R 2 .
22. Encuentre la ecuaci´on de la circunferencia que pasa por los puntos A(−4, 0), B(1, 5, ),
C(6, −3).
23. Hallar las ecuaciones de las circunferencias que son tangentes a las tres rectas:
4x − 3y − 10 = 0,

3x − 4y − 5 = 0,

3x − 4y − 15 = 0.

24. Hallar las ecuaciones de las tangentes a la circunferencia
x2 + y 2 + 10x − 2y + 6 = 0que son paralelas a la recta
2x + y − 7 = 0.
25. Determinar el radio y las coordenadas polares del centro de la circunferencia
ρ = 8sen(θ −

π
).
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26. Verificar que la ecuaci´on
1
y = x2 + x + 2
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determina una par´abola, encontrar las coordenadas de su v´ertice y la magnitud del
par´ametro p.
27. Dado el v´ertice de una par´abola A(6, −3) y la ecuaci´on de su directriz
3x − 5y + 1 = 0,
hallar...