Problemario

PROBLEMARIO DEL CUARTO PERIODO.
´ ´ ULTIMA ACTUALIZACION 20 OCTUBRE 2010

1. A (1) En cada una de los ejercicios siguientes,describa las l´ ıneas de campo y 2 2 bosqueje algunos de los vectores del campoF : R → R a) F (x, y) = (x, x) b) F (x, y) = (1, x). c) F (x, y)= (x, 2y) d) F (x, y) = (−2y, x) e) F (x, y) = (−y, −x) (2) Obtener el campo gradiente de la funci´n diferenciable f : R2 → R2 y obosqueje algunos de sus elementos en el plano. a) f (x, y) = x + y b) f (x, y) = xy c) f (x, y) = x2 + y 2 d) f (x, y) = 2x2 − y 2 e) f (x,y) = x2 − 2y 2 (3) Sean f (x, y, z) = y y σ(t) = (0, 0, t), 0 ≤ t ≤ 1. Demostrar que σ f (x, y, z)ds = 0. (4) Evaluar las siguientesintegrales de trayectoria σ f (x, y, z)ds donde: a) f (x, y, z) = x + y + z y σ : t → (sin t, cos t, t) con t ∈ [0, 2π] b) f (x, y, z) =cos z y σ : t → (sin t, cos t, t) con t ∈ [0, 2π] c) f (x, y, z) = x cos z y σ : t → ti + t2 j con t ∈ [0, 1] √ d) f (x, y, z) = exp z y σ: t → (sin t, cos t, t) con t ∈ [0, 2π] e) f (x, y, z) = yz y σ : t → (t, 3t, 2t) con t ∈ [1, 3] 3 f) f (x, y, z) = x+y y σ : t → (t, 2t 2 , t) con t ∈ [1, 2] y+z 3 (5) Mostrar que la integral de trayectoria de f (x, y) a lo largo de una trayectoria dada en coordenadaspolares por r = r(θ), θ1 ≤ θθ2 es:
θ2

(1)
θ1

f (r cos θ, r sin θ)

r2

+

dr dθ

2

+1 punto extra: ¿?

1