Problemario

Olimpiada de Matem´ticas de Hidalgo
a
CIMA-UAEH
Lista de Problemas - Tipo

Nota Introductoria
Presentamos una lista de problemas para preparar al estudiante para la Olimpiada de
Matem´ticas en sus fases estatal y nacional. Hemos se˜alado en cada problema el area
a
n
´
al que pertenece (aritm´tica, combinatoria y geometr´ as´ como su nivel de dificultad
e
ıa) ı
(introductorio,intermedio o avanzado). Desde luego, la elecci´n de nivel es en parte subjeo
tiva, y deber´ tomarse con cierta reserva; sin embargo, creemos conveniente inculuir esta
a
informaci´n como una forma de orientaci´n para profesores y alumnos.
o
o
De acuerdo a la experiencia en a˜os anteriores, podemos estimar que un estudiante que
n
sea capaz de entender y resolver los problemas introductorios m´salgunos pocos de los
a
intermedios deber´ estar´ en condiciones de hacer un buen papel en el Examen Estatal.
a
a
Los problemas considerados de nivel intermedio forman el grueso de los problemas de
preparaci´n de las preselecciones estatales. Los problemas de nivel avanzado representan el
o
par´metro para seleccionar a los alumnos que representen al estado en los eventos regionales
a
ynacionales.
Al final de los problemas se incluye una lista de libros recomendados, as´ como de una
ı
peque˜a lista de p´ginas de internet que pueden resultar muy utiles para obtener material
n
a
´
de entrenamiento.
Recomendaciones
– Antes de comenzar a resolver un problema es indispensable haber comprendido bien
el enunciado.
– Si por un camino elegido no alcanzamos la soluci´n despu´s dealgunos intentos, o
o
e
parece estar demasiado dif´
ıcil, hay que buscar alternativas.
– Si se ha encontrado una soluci´n a un problema, es conveniente preguntarse si pudiera
o
haber otra forma de resolverlo; especialmente, si la soluci´n encontrada es muy larga o
o
trabajosa, ser´ bueno buscar formas m´s eficientes de alcanzar el mismo resultado.
ıa
a
Lista de Problemas

1

1.[Aritm´tica. Introductorio]
e
Encuentra la suma de los primeros n n´meros pares positivos y la suma de los priu
meros n n´meros impares positivos.
u

2.

[Aritm´tica. Introductorio]
e
Construye una tabla con los n´meros primos menores que 200.
u

3.

[Aritm´tica. Introductorio]
e
Demuestra que no existen n´meros enteros m y n que satisfagan la ecuaci´n
u
o
42m + 14n = 20

4.[Aritm´tica. Introductorio]
e
¿Cu´ntos divisores positivos tienen los n´meros 2004, 2005 y 2006 ? ¿Y el 15! ?
a
u

5.

[Combinatoria. Intermedio]
En un plano hay una cantidad finita de puntos naranjas y azules. Entre cada dos
puntos naranjas hay siempre un punto azul, y entre dos puntos azules hay siempre
un punto naranja. Demuestra que los puntos tienen que estar todos sobre una mismal´
ınea recta (es decir son colineales).

6.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Sean a, b y c enteros positivos tales que a2 + b2 = c2 . Prueba que el producto de los
tres es par.

7.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Demuestra que si k es un entero y k no es m´ltiplo de 5, entonces o bien 5 | (k 2 + 1)
u
2 − 1).
o bien 5 | (k

8.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
2

Encuentra todas lassoluciones con enteros positivos para cada una de las ecuaciones
siguientes
a2 − b 2 = 7

2m2 + 3mn − 2n2 = 71

9.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Prueba que la suma de los cubos de cualesquier tres enteros consecutivos es siempre
un m´ltiplo de 3.
u

10.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Prueba que los siguientes criterios de divisibilidad son verdaderos
a)
b)

11.

Un n´mero esm´ltiplo de 4 si y s´lo si sus dos ultimos d´
u
u
o
´
ıgitos son
divisibles por 4.
Un n´mero es m´ltiplo de 9 si y s´lo si la suma de sus d´
u
u
o
ıgitos es
un m´ltiplo de 9.
u

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Demuestra que la suma de los cuadrados de dos enteros consecutivos nunca puede
ser un cuadrado perfecto.

12.

[Aritm´tica. Intermedio]
e
Encuentra todas las soluciones con...