PROBLEMARIODECALCULOVECTORIAL

PROBLEMARIO DE CALCULO VECTORIAL
 En los ejercicios 1 a 8 (a) trace la representación de la curva C y (b) encuentre la
ecuación rectangular cuya gráfica contenga los puntos de C
1.
2.
3.
4.
5.
6.

x  t  2, y  2t  3; 0  t  5
x  1  2t , y  1  t ,  1  t  4

x  t 2  1,

y  t 2  1;  2  t  2

x  t 3  1,

y  t 3  1;  2  t  2

x  t3, y  t2; t  R
x  cos t  2, y  sen t 3; 0  t  2
7. x  t 2 , y  2 ln t; t  0
8. x  sen t , y  csc t; 0  t   / 2

 1. Dados los vectores a = (-2,3,1), b = (7,4,5), y c = (1,-5,2), calcule lo siguiente:
a) a  b
b) b  c c) a  (b + c) d) b  (a – c) e) (2a + b)  3 c
f) compc b
g) proya c h) proyb a
2. Calcule el ángulo entre a y b
a) a = -4 i +8 j – 3k
b = 2i + j + k
b) a = (3, -5, -1) b = ( 2, 1, -3)
3. Calcule los cosenosdirectores de a = (-2,1, 5)
4. Pruebe que a + b 2 + a – b 2 = 2( a 2 +  b 2 )
5. Encuentre a  b
a) a = (1, -2, 3) b = (2, 1, -4)
b) a = -3i + j + 2k b = 9i – 3j – 6k
c) a = 3i b = 4k
6. Sean a = (2, 0, -1), b = ( -3, 1, 0) y c = (1, -2, 4) calcular lo que se pide:
a) a  (b  c)

b) a  (b – c)

c) (a  b) – (a  c)

7. Demuestre que (a  b)  b = 0 para todos los vectores a yb.
8. (a) Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por los puntos P, Q y R;
(b) Calcule el área del triángulo determinado por estos puntos.
a) P(1, -1, 2) Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1)
b) P(4, 0, 0) Q(0, 5, 0), R(0, 0, 2)

9. Dados los puntos P(1, -1, 2), Q(0, 3, -1), R(3, -4, 1) calcule el volumen del
paralelepípedo que tiene lados adyacentes OP,OQ y OR.
10. Verifique las siguientesidentidades, considerando que a, b y c son vectores
arbitrarios.
a) (a + b)  (a – b) = 2(b  a)
b) (a  b)  c = (a  c)b – (b  c)
 Funciones Vectoriales
1. Trace la gráfica de la curva determinada por r (t).
a) r(t) = (t3 – 1)i + (t2 +2)j;

-2t2

b) r(t) = ti + 4cos t j + 9sen t k;
c) r(t) = (t2 +1)i + tj + 3k;

t0

t en R

2. Encuentre el dominio de r y determine los valores para los que r escontinua.
Determine r’(t) y r’’(t).
a) r(t) =
b)
c)
d)
e)

t 1 i +
t2

2t j
1

r(t) = e i + sen t j
r(t) = t2i + tan tj + 3k
r(t) = 3 t i + 1/ t j + e  t k
r(t) = ln (1 – t)i + sen tj + t2k

3. (a) Trace la curva en el plano xy determinada por r(t). (b) Determine r’(t) y trace los
vectores correspondientes a r(t) y r’(t) para el valor de t indicado.
a) r(t) = 4cos ti + 2 sen tj;
b) r(t) = t2i +t3j;

t = 3/4

t = -1

4. Encuentre las ecuaciones paramétricas para la recta tangente a la curva en P.
a) x = 4 t ,
y  t 2  10
z  4 / t;
P(8,6,1)
t
t
2
y  te ,
z  t  4;
P(1,0,4)
b) x  e ,
c) x  t sen t ,
y  t cos t ,
z  t;
P( / 2,0,  / 2)
5. Evalúe las siguientes integrales:

 (t i + t j + t k) dt
 [(1  t )i – 4t j – (t – 1)k] dt
 (cos 2t i + sen 2t j + t sen t k) dt
 ( t i +te j + 1/ t k) dt
1

a)

2

3

0

2

b)

4

2

2

1

 /4

c)

0

4

d)

-t

2

1

6. Calcule la curvatura de las siguientes funciones:
a)
b)
c)
d)
e)

r (t) = i + t j + t2 k
r (t) = (1 + t )i + (1 – t ) j + 3t2 k
r (t) = 2t3 i – 3t2 j + 6t k
r (t) = (t2 + 2) i + (t2 – 4t) j +2t k
r (t) = sen t i + cos t j + sen t k

7. Determine los vectores T, N y B en el punto dado
a) r (t) = (2 sen 3t , t , 2cos 3t );
b) r (t) = (t , t 2 , t 3 );
(1,1,1)

(0,  ,2)

8. Encuentre la velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula con la función de
posición dada y dibuje la trayectoria de la partícula y los vectores de velocidad y
aceleración para el valor de t dado.
a) r (t) = ( t2, -1, t)
t=1
b) r (t) = ( t ,1,t )
t=1
c) r (t) = sen t i + 2cos t j t =  / 6
9. Encuentre las componentestangencial y normal del vector aceleración.
a) r (t) = (t2 + 4) i + (2t – 3) j
b) r (t) = (t – sen t) i + (1 – cos t) j
c) r (t) = et i + 2t j + e-t k
 Funciones de varias variables
1. Si g(x, y) = ln (xy + y –1), calcule:
a) g(1, 1)
b) g(e, 1)
c) g(x, 1)

d) g(x + h, y)
e) g(x, y + h)

2. Encuentre el dominio y rango de las siguientes funciones:

a)

f ( x, y)  x  2 y  5

b)

f ( x, y)  e x...