Problemas Aplicados

Problema 1

Hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda:
Respectivamente :

Y = (2008 -8x – x^2) /  16    ; y = (1 x^2)/13
Y = (208 -8x – x^2)/16 è   x=8; y = 5
Y = (1 + x^2)/13     è   -11,5: y = 10.4

Se tomara únicamente la 1ra solución como punto de equilibrio, ya que: x debería ser positivo.

La pendiente de la demanda en: P(8,5)

Y = (208 -8x – x^2) /16  è Y’ = ½ -x/8

Reemplazando x=8 è y’(s) = -3/2 <0
La pendiente de la oferta en: P (8,5)
Y= 0 1 + x^2  / 13  è y’ (8) = 16/13 >  0

Problema 2
Hallar el Ingreso Marginal y el Ingreso Máximo, que se obtiene de un bien cuya función de demanda es y = 60 -2x

La demanda:  y = 60 – ex
El Ingreso: R(x) = xy = x( 60 – 2x) = 60x – 2x^2
El Ingreso Marginal:R’(x) = 60 – 4x
Maximizando la ecuación de Ingreso Total:

Si.  R8x) = 60x – 2x^2
R’(x) = 60 – 4x = 0 è x=15
Rmax. = 60+15 – 2*15^” = 450

Problema 3

Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x; La Demanda que posee el bien es: y= 90-2x

El costo total C(x) = 20 + 14x
La Demanda y = 90-2x
El ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)

La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)
                        = x (90-2x) – (20 + 14 x)
                        = -2x^2 +76x – 20

Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0 è x = 19
                      GMax. = 2+19^2 + 76*19 – 20 = 702

Probelema 4
Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vezque alquila un Departamento menos. ¿cuántos Departamentos debe alquilar para un máximo ingreso?

Nº Total Dep.    : 40
Nº Dep. Alquilados  : x
Nº Dep. no alquilados: u

Alquiler de 1 dep. Originalmente: 100$
Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$
Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$
Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u
Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

Reemplazando laecuación de ingreso es:

R = x ((100+5(40-x))
= -5x^2 + 300x

R’ = -10x + 300 = 0 è x = 30
Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$

Nótese que no se alquilan 10 dep. (u = 10)
El alquiler de 1 Dep. es :
100 + 5u = 100 + 5*10 = 150$

Problema 5
Una entidad bancaria cobra una tarifa de 20$; por cada 1000$ de transacción comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de 0,1$ por cada 1000$ encimadel monto de 100000 $. Hallar su máximo Ingreso si:

a) La rebaja afecta al monto total de la transacción.
b) La rebaja afecta únicamente al monto por encima de 100000$

Nº de miles de $ de transacción total: x
Nº de miles de $ encima de 100 mil $: u
è x = u + 100
Tarifa original por mil $: 20$
Rebaja por mil $ encima de 100mil: 0,1 $
Rebaja por u miles, encima de 100mil: 0,1u $
Tarifacon rebaja:   20 – 0,1u

a) Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el ingreso es:
  R = x(20-0,1u)                                  R’ = - o,2x+30 = 0 è x = 150
      = x ( 20 – 0,1(x-100)  Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil
      = 0,1x^2 + 30x                        =2250000$

b) Si la rebaja afecta únicamente a 1monto por encima de 100miles de $ ( u en miles de $) ; el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con rebaja:
R = 100*20 + u(20-0,1u)                R’ = -0,2x + 40 = 0 =0> x=200
  = 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100) Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0  è x=200
=  -0,1x^2 + 40 x – 1000                           = 3000 miles de $ = 3000000$

Problema 6
Unafábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es de
p U$S /unidad.
Se ha determinado que la relación entre p y q es:
Si el precio p del artículo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S por q2 - 2q p − p2 − 31 = 0 Semana, te pedimos:

a) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.
b) ¿Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana...