Problemas Con El Angulo De Intersección Entre Dos Rectas

1.- ANGULO ENTRE RECTAS.
El ángulo entre dos rectas es el que se considera a partir de una recta L1 y en sentido contrario al de las manecillas del reloj hasta otra recta L2, a la recta L1 se le llama recta inicial y a L2 recta final.

2.- CALCULO DEL ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS.
El cálculo del ángulo de intersección entre dos rectas se realiza mediante la fórmula:[pic] en donde:

[pic] = ángulo de intersección
m2 = pendiente de la recta final L2
m1 = pendiente de la recta inicial L1

3.- DEDUCCIÓN DE LA FORMULA: [pic]

En la figura:
[pic] [pic]
[pic] [pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
EJEMPLOS:


1.- Encontrar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son A(-2, 1), B (3, 4) y C (5, -2)


[pic][pic]


[pic]
[pic]
[pic]; [pic]; [pic]
[pic] [pic]


[pic] [pic]


[pic] [pic]


[pic] [pic]


Comprobación:


A + B + C = 180º ; 54º 10’ + 77º 28’ + 48º 21’ = 179º 59’


2.- Sabiendo que el ángulo formado por L1 y L2 es de 45º y la pendiente de m1 de L1 es [pic] , encontrar la pendiente m2 de L2.
[pic]


[pic]; [pic];m2 = 5



EJERCICIOS X



1) Encontrar los ángulos interiores del triángulo que tiene como vértices los puntos A ( -3,-2 ), B ( 2,5 ) y C (4,2 ). Comprobar los resultados.


2) Demostrar ( mediante longitudes ) que los vértices proporcionados en cada inciso son de un triángulo isósceles. Calcula el valor de sus ángulos interiores.
a) A (2,4 ); B ( 5,1 ) y C (6,5 )
b) A ( 3,2 ); B ( 5,-4 ) y C (1,-2 )
c) A ( 1,5 ); B ( 5,-1 ) y C (9,6 )


3) Encontrar los ángulos interiores del cuadrilátero cuyos vértices son: A ( 2,5 ), B ( 7,3 ), C ( 6,1 ) y D ( 0,0 ). Comprobar los resultados.


4) Dos rectas forman un ángulo de 1350 , sabiendo que la recta final tiene una pendiente de –3; determinarla pendiente de la recta inicial.


5) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 450 , la recta inicial pasa por los puntos ( -2, 1 ) y ( 9,7 ) y la recta final pasa por el punto ( 3, 9 ) y por el punto A que tiene como abscisa –2. Determinar la ordenada de A.


6) El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos ( - 4, 5 ) y ( 3, y ) con la que pasa por lospuntos ( -2,4 ) y ( 9,1 ) es de 1350 ; calcular el valor de “y”.


En todos los casos trazar la gráfica correspondiente.


PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD


1.- PARALELISMO.
Dos rectas son paralelas si el ángulo de intersección formado por ellas es de 0º o de 180º.


2.- PERPENDICULARIDAD.
Dos rectas son perpendiculares si el ángulo de intersección por ellasformado es de 90º.


3.- CONDICIONES DE PARALELISMO.
Sabiendo que tan 0º = tan 180º = 0; y, sustituyendo el valor de O en la fórmula para encontrar el ángulo de intersección entre dos rectas tenemos:[pic]
Para que la operación del segundo miembro sea cero, m1 y m2 deben ser iguales.
[pic]
Para que dos rectas sean paralelas, sus pendientes deben ser iguales. m1= m24.- CONDICIONES DE PERPENDICULARIDAD.
Sabiendo que cot 90º = 0 y valiéndose de los conocimientos ya adquiridos, podemos escribir la fórmula para calcular el ángulo de intersección entre dos rectas de la siguiente manera:[pic]


Para que cot ( = cot 90º = 0 se debe de anular el numerador, es decir: 1 + m2 m1 = 0 de donde m2 m1 = -1 o también m2 = [pic]


Dosrectas son perpendiculares si la pendiente de una es el inverso y de signo contrario de la otra.


EJEMPLOS:


1.- Demuestre que los puntos A(2, 1), B(7, 4), C(2, 6) y D(-3, 3) son los vértices de un paralelogramo.


[pic] [pic]
[pic] [pic]


Los lados AB y CD; BC y AD son paralelos puesto que tienen la misma pendiente.


2.- Dados los...