Problemas Conteo

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Problemas Resueltos
Permutaciones

1. Calcule 9!, 10! y 11!
a. 9!=362,880
b. 10!=3,628,800
c. 11!=39,916,800
2. Calcular: 16!/14!, 14!/11!, 8!/10! 10!/13!
a. 16!/14! = 15*16= 240
b. 14!/11! = 12*13*14 = 2184
c. 8!/10! = 1/9*10=1/90
d. 10!/13!= 1/(11*12*13)
3. Simplificar
a. (n+1)!/n! = n+1b. n!/(n-2)!=1*2*3*...*n/(1*2*3*...*n-2)=n*(n-1)
c. (n-1)!=(n+2)!=1/(n*(n+1)*(n+2))
d. (n-r+1)!/(n-r-1)! = (n-r+1)(n-r)
4. ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras “diferentes” seguidas de 3 dígitos diferentes?
a. Observemos que necesitamos tomar de 26 letras 2 (diferentes), es decir 26P2= 25*26 =650, luego de 10 dígitos hayque tomar 3 lo cual es 10P3=720, entonces, de acuerdo con el principio de conteo, el número total es 650*720=468,000
b. ¿Si el primer número no puede ser cero? Necesitamos considerar el caso solo que del primero solo hay nueve formas de tomarlo, del segundo número y tercero hay 9P2=72, lo que da: 650*72*9=421,200
5. De A a B hay 6 caminos y de B a C 4:
a. ¿De cuántas manerasse puede ir a c pasando por b? 6*4=24
b. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje ida y vuelta? =6*4*6*4=576
c. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta sin pasar por los mismos caminos? 6*4*3*5=360
6. Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán si uno de tres debe manejar: Tenemos 6 personas 3 conducen y 3 van de pasajeros,Entonces para el sitio del conductor hay 3 posibilidades, para el siguiente hay 5, para el otro 4 y así, entonces hay 5!*3=360 formas de hacerlo.
7. Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una fila: 5!=120 formas,
a. ¿Cuántas habría si dos personas insisten en sentarse una junto a la otra? Consideremos que si los dos se sientan juntos, se pueden considerarcomo una sola persona en 4 asientos, así que sería 4!=24 formas, pero si permutamos el orden en que se sientan, tendríamos el doble de posibilidades es decir 48 formas.
8. Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una mesa redonda: Se tiene que un sitio se debe asignar, pero este elimina 5 posibilidades, por lo tanto el número es 4!=24.
a. Para el caso en que dospersonas se quieran sentar juntas, =2*3!=12 formas.
9. Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra cristal: 7P4=7*6*5*4=840
a. ¿Cuántas contienen solo consonantes? 5P4=5!=120
b. ¿Cuántas empiezan por vocal? Hay 2 vocales, así que para la primera letra hay 2 posibilidades y para las otras letras hay 6P3=6!/3!=120, por lo quehay 240 palabras que inician con vocal.
c. ¿Cuántas tienen la letra i? Fijemos que hay 4 posibilidades donde haya una i, y para el resto quedan disponibles las 6P3=120 posibilidades, por lo tanto hay 480 palabras con i.
d. ¿Cuántas empiezan con T y terminan con vocal? Tenemos para la primera 1 posibilidad y para el resto hay 5P2=20 *2 = 40 palabras
e. ¿Cuántas comienzancon T y tienen S? hay 1 posibilidad para la T al inicio y 3 para la s, para las otras dos hay 5P2=20, por lo que existen 60 palabras.
10. ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? 8!/4!2!2!=420 señales
11. Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de una palabra
a.barra: Tenemos 2 a’s, 2 r’s y una b, entonces tenemos que el total, sin considerar, las repeticiones, sería 5!, pero esto hay que dividirlo entre 2!*2!, por lo que habrán únicamente 30 palabras.
b. satélites: Tenemos 2 s’s, 2 t’s y si no consideramos la tilde en una e serían 2 e’s entonces sería 9!/(2!*2!*2!)=45,360
c. proposición: de nuevo 2 p’s, 3 o’s, 2 i’s, entonces tendríamos...