Problemas de aritmetica: divisibilidad, magnitudes proporcionales, etc

DIVISIBILIDAD

TEORIA DIVISIBILIDAD
Es la parte de la aritmética que tiene por objeto hallar las condiciones que debe de tener un número para que sea divisible entre otro.
El objetivo principal es hallar el residuo en divisiones enteras inexactas, sin tener que ejecutarlas.

DEFINICIONES PRELIMINARES:
Múltiplo: Se dice que un “ A” es un múltiplo de “B” cuando “A” contiene a “B” un # Z yexacta de veces.
Notación: A = [pic]
A = mB
A = Bk
Ejm.: * 30 es múltiplo de 6
* 0 es múltiplo de 8

Divisor: Se dice que un # es divisor de otro cuando los divide en forma exacta.
Ejm.:
* 5 es divisor de 120
Observación:
1) El cero es múltiplo de todo número natural.
2) Por convención el primer múltiplo de un número es el mismo número.
Principios dedivisibilidad:
1) [pic]
2) [pic]
3) [pic]
4) [pic]
5) [pic]
6) [pic]
7) [pic]
10) * D = [pic]
* D = [pic]

TEOREMA DE ARQUÍMEDES
Si A.B=[pic]; además “A” no es [pic]; ni tiene ningún divisor en común con “n” aparte de la unidad.
( B = [pic]
• Año bisiesto:
Es aquel año que tiene 366 días; la forma de reconocer es que son años [pic] a excepción de los años seculares [pic] que noforma un # [pic].

DIVISIBILIDAD
Son las condiciones que debe reunir un número para asegurar que es divisible por otro, sin que sea necesario efectuar la división y también para encontrar los residuos.

Divisibilidad por 2nó 5n
Un número es divisible por 2n o 5n si sus últimas “n” cifras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n o 5n respectivamente.

Divisibilidad por3 ó 9
Un número es divisible por 3 ó 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3 ó 9.
[pic] = [pic]( a + b + c + d = [pic]
[pic] = [pic]( a +b c + d = [pic]

Divisibilidad por 11
[pic] = [pic]
Entonces: (f + d + b) – (e + c + a) = [pic]

Divisibilidad por 7
[pic]
Entonces: 2a+3b+c-2d–3e-f+2g+3h+k = [pic]

Divisibilidad por 13
[pic]Entonces:–4a–3b+c+4d+3e–f+4g–3h+k= [pic]

|OBSERVACIONES: |
|Si aun número se le aplica el criterio de divisibilidad por “a” y |
|esta aplicación no resulta exacta, entonces se obtendrá una cantidad|
|que será el residuo de dividir N entre “a” |

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar “a”, si [pic] = [pic]
|a) 0|b) 3 |c) 5 |
|d) 7 |e) hay 2 respuestas |

2. Hallar de “a + b”, si:
[pic] = [pic]
|a) 6 |b) 7 |c) 8 |
|d) 9 |e) 12 | |

3. Hallar “b” si: [pic] =[pic]
|a) 4 |b) 6 |c) 7 ||d) 8 |e) 9 | |

4. Si: [pic]=[pic] (b ( 0)
Hallar: “a + b”
|a) 9 |b) 12 |c) 15 |
|d) 8 |e) 7 | |

5. Hallar “a - b”[pic]
|a) 1 |b) 2 |c) 3 |
|d) 4 |e) 5| |

6. Si: [pic]. Hallar “a.b”
|a) 12 |b) 15 |c) 14 |
|d) 16 |e) 18 | |

7. Simplificar:
([pic]+1)2+([pic]+2)2 + ([pic]+3)2 + . . .. . . +([pic]+51)2
|a) [pic] - 2 |b) [pic] - 3 |c) [pic]+1 |
|d) [pic] - 1 |e) [pic]+2| |

8. ¿Qué numero natural debemos quietar a 21019 para que el resultado sea [pic]?
|a) 5 |b) 6 |c) 7 |
|d) 8 |e) 9 | |

9. Hallar “x” si: [pic]
|a) 1 |b) 2 |c) 3 |
|d) 4 |e) 5 |...