problemas de cálculo 1

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ingeniería
Cálculo 1 Para Ingeniería
Cristián Burgos Gutiérrez
Primer Modelo PEP 1.
Problema 1.

1. Considere la función f :] − ∞, −1] → R denidapor f (x) =

x+1
(x − 2)2

a ) Determine si es posible la existencia de ceros, y evalue su signo
b ) Determine Rec(f )

2. Un abrevadero de 20[f t] de largo tiene forma de triángulo isóscelescuyos lados iguales miden 4[f t]
de longitud. Si llamamos θ al ángulo que forman estos lados iguales:
a ) Exprese el volumen del abrevadero como V = V (θ).
b ) Determine los valores de θ para loscuales V (θ) > 0
c ) Resuelva la ecuación V (θ) = 160 (cos(2θ) + 1) para θ ∈ [0, 2π]
Problema 2.

1. Considere la función f denida por:
1−x
|x| + |x − 1|

f (x) = ln
a ) Determine Dom(f )b ) Encuentre los x ∈ Dom(f ) tal que f (x) < 0

2. Resuelva la inecuación:
log3x (9x) + log3 (x) ≤ 2
Problema 3.

1. Calcule los limites siguientes:
a ) lim
π
x→ 3

b ) lim

x→θ

1 − 2cos x
sin x − π
3
(x − θ)2 + 4π 2 − 2π
(x − θ)2

, θ ∈ R.

√
 1−cos x
 x

x− π
2
2. Considere la función f denida por f (x) = b(cos x )

a
 +b
x
b tales que f sea contínuaen x = {0, π }
2

1

x 0 si:

160 sin(θ) > 0
sin(θ) > 0

2

θ
2

De donde, con la ayuda del círculo unitario, se tiene que:
θ ∈]0, π[∪]π, 2π[∪]2π, 3π[∪...
θ∈

]kπ, (k + 1)π[
k∈Zc ) Para resolver esta ecuación se tiene:

160 sin(θ) = 160(1 + cos(2θ))
160 sin(θ) = 320 cos2 (θ)
sin(θ) = 2(1 − sin2 (θ))
2 sin2 (θ) + sin(θ) − 2 = 0

Haciendo el cambio t = sin(θ) , quedala ecuación cuadrática:
2t2 + t − 2 = 0

Cuyas solución es:
−1 ±

1 − 4 · 2 · (−1)
√ 4
−1 ± 9
=
4
−1 ± 3
=
4

t =

Entonces, t1 = −1 o t2 =

1
2

, sustituyendo a la variableoriginal se tiene que
sin(θ1 ) = −1
sin(θ2 ) = 1
2

De modo que θ1 =

3π
2

y θ2 = { π , 5π }
6 6

Problema 2.

1. Dada f (x) = ln

1−x
|x|+|x−1|

a ) Para el dominio, se cumple...