problemas de cuántica

Primera guía de ejercicios
Mecánica Cuántica
1. Suponga que |݅ۧ y |݆ۧ son autokets de algún operador hermítico ‫¿ .ܣ‬Bajo qué
condición podemos concluir que |݅ۧ ൅ |݆ۧ es también un autoket de ‫?ܣ‬Justifique su
respuesta.
2. Usando las reglas del álgebra de bras y kets, pruebe o evalúe lo siguiente:
a.- ‫ݎݐ‬ሺܻܺሻ ൌ ‫ݎݐ‬ሺܻܺሻ, donde ܺ e ܻ son operadores.
b.- ሺܻܺሻற ൌ ܻ ற ܺ ற , donde ܺ e ܻ sonoperadores.
c.- exp ݅ ݂ሺ‫ܣ‬ሻሻ en forma ket-bra, donde ‫ ܣ‬es un operador hermítico cuyos
ሺ
autovalores son conocidos.
∗
d.- ∑௔ᇲ ߰௔ᇲ ሺ‫ ݔ‬ᇱ ሻ߰௔ᇲ ሺ‫ ݔ‬ᇱᇱ ሻ , donde ߰௔ᇲ ሺ‫ ݔ‬ᇱ ሻ ൌ ‫ ݔۦ‬ᇱ |ܽᇱ ۧ

3.Considere un espacio de kets generado por los autokets ሼ|ܽ′ۧሽ de un operador
hermítico ‫ .ܣ‬No hay degeneración.
Pruebe que ∏௔ᇱሺ‫ ܣ‬െ ܽ′ሻ es el operador nulo. Ilustre lo anterior usando que ‫ ܣ‬es
ଵigual a ܵ௭ de un sistema de spin ଶ.

4. Sean ‫ ܣ‬y B observables. Suponga que los autokets simultáneos de ‫ ܣ‬y ‫ ܤ‬ሼ|ܽᇱ , ܾ′ۧሽ
forman una base ortonormal de kets. ¿Podemos siempre concluir queሾ‫ܤ ,ܣ‬ሿ ൌ 0?
5. Cierto observable en mecánica cuántica tiene una representación:
0 1
൭1 0
√2 0 1
1

0
1൱
0

Encuentre los autovectores normalizados de este observable y los autovalorescorrespondientes. ¿Existe degeneración?
6. Considere dos kets |ߙۧ y |ߚۧ. Suponga que ‫ܽۦ‬௜ |ߙۧ y ‫ܽۦ‬௜ |ߚۧ son todos conocidos,
donde ሼ|ܽ௜ ۧሽ forma una base de kets. Encuentre la representaciónmatricial del
operador |ߙۧ‫ |ߚۦ‬en esa base.

Segunda guía de ejercicios
Mecánica Cuántica

1. a.- Gottfried (1966) afirma que

߲‫ܩ‬
߲‫ܨ‬
, ሾ‫݌‬௟ , ‫ܨ‬ሺ‫ ݔ‬ൌ െ݅԰
Ԧሻሿ
߲‫݌‬௟
߲‫ݔ‬௟
Puedenser “fácilmente derivadas” a partir de las relaciones fundamentales de
conmutación para todas las funciones ‫ ܨ‬y ‫ ܩ‬que puedan ser escritas como una serie
de potencias en sus argumentos. Verifiqueesta afirmación.
ሾ‫ݔ‬௟ , ‫ܩ‬ሺ‫ ݌‬ൌ ݅԰
Ԧሻሿ

b.- Evalúe ሾ‫ ݔ‬ଶ , ‫݌‬ଶ ሿ. Compare su resultado con el corchete de Poisson clásico
ሾ‫ ݔ‬ଶ , ‫݌‬ଶ ሿ௖௟á௦௜௖௢ .

2. El operador de traslaciones...