Problemas de cuadrilateros ciclicos

Cuadriláteros cíclicos
Colima, Col. Octubre de 2006 1. Las circunferencias C1 y C2 se intersecan en los puntos A y B. Por el punto A se traza una recta que corta a las circunferencias C1 y C2 en lospuntos C y D, respectivamente. Por los puntos C y D se trazan tangentes a las circunferencias, las cuales se intersecan en el punto M. Demuestra que el cuadrilátero MCBD es cíclico. 2. En lasiguiente figura están trazadas las bisectrices de los ángulos interiores del cuadrilátero ABCD, las cuales se intersecan en los puntos E, F, G y H, como se muestra en la figura. Demuestra que el cuadriláteroEFGH es cíclico

3. En un triángulo ABC sean M, N y P, puntos sobre los lados BC, CA y AB, respectivamente. Se trazan las circunferencias circunscritas a los triángulos APN, BMP y CNM. Demuestraque las tres circunferencias tienen un punto en común. 4. Una línea PQ, paralela al lado BC de un triángulo ABC, corta a AB y a AC en P y Q, respectivamente. La circunferencia que pasa por P y estangente a AC en Q corta de nuevo a AB en R. Demuestra que el cuadrilátero RQCB es cíclico. 5. En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una línea perpendicular a MC por M interseca AD en K. Demuestraque CM es la bisectriz de ∠BCK. 6. Sea AB el diámetro de un círculo con centro O. Se toma el punto C sobre la circunferencia de tal manera que OC es perpendicular a AB. Sea P un punto sobre el arcoCB. Las líneas CP y AB se intersecan en Q. Se escoge un punto R sobre la línea AP de tal manera que RQ y AB son perpendiculares. Demuestra que BQ = QR. 7. Sea ABCD un cuadrilátero convexo tal que lasdiagonales AC y BD son perpendiculares, y sea P su intersección. Demuestra que las reflexiones de P con respecto a AB, BC, CD y DA son concíclicos.

8. Sea BC el diámetro de un semicírculo y sea Ael punto medio del semicírculo. Sea M un punto sobre el segmento AC. Sean P y Q los pies de las perpendiculares desde A y C a la línea BM, respectivamente. Demuestra que BP = PQ + QC. 9. Sea ABC un...