Problemas de distribucion de probabilidad

Matemáticas CCSS II

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Probabilidad

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La mayoría de estos problemas han sido propuestos en exámenes de selectividad de los distintos distritos
universitarios españoles.

1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles respuestas cada una, de las que sólo una
de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia responde
completamente al azar marcando unarespuesta aleatoriamente. Calcula la probabilidad de que
acierte 4 o más preguntas.
Solución:
Se trata de una distribución de probabilidad binomial, B(n, p), con n = 6, p = P(acierto) = 0,25
y q = P(fallo) = 0,75.
Como se sabe, para la B(n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:
n
P( X  r )    p r q n r
r 
En este caso:
P(X  6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) =
 6
66
=  0,25 4 ·0,75 2   0,255 ·0,75   0,25 6 =
 4
5
6
= 15·0,25 4 ·0,75 2  6·0, 255 ·0,75  0,24 6 = 0,03296  0,00439  0,00024  0,03759

2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces,
calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces.
Solución:
Se trata de una distribución de probabilidad binomial:
B(5, 0,4)  n = 5; p= 0,4; q = 0,6
Como sabemos, para la B(n, p), la probabilidad de r aciertos en n intentos es:
n
P( X  r )    p r q n r
r 
En este caso:
P(X  3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) =
5
5
 5
=  0, 4 3 ·0,6 2   0,4 4 ·0,6   0, 4 5 =
 3
 4
 5
= 10·0,4 3 ·0,6 2  5·0,4 4 ·0,6  0,4 5  0,2304  0,0768  0,01024  0,31744

José María Martínez Mediano

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Probabilidad

3. Un examen de tipo test consta de 100 preguntas, cada una de las cuales se acompaña de
cuatro respuestas, una de ellas correcta y erróneas las otras tres. Si un estudiante contesta al
azar, ¿cuál es la probabilidad de que acierte más de 30 preguntas? ¿Y menos de 15?
Solución:
El experimento es de tipo binomial, con P(éxito) = p = 0,25 y q = 0,75. Para n = 100, será
B(100,0,25).
La binomial B(100, 0,25) se puede aproximar mediante la normal de media
 = 100 · 0,25 = 25 y  = 100·0,25·0,75  4,33  N(25, 4,33).
Con esto,




P(X > 30) = P(X´ > 30,5), haciendo la corrección de continuidad.
30,5  25 

P(X´ > 30,5) = P Z 
 = P(Z > 1,27) = 1  0,8980 = 0,1020.
4,33 

14,5  25 

P(X < 15) = P(X´ < 14,5) = P Z 
 = P(Z < 2,42) = 1  0,9922 = 0,0078
4,33 

José María Martínez Mediano

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Probabilidad

DISTRIBUCIÓN NORMAL
4. Una persona que desea encontrar trabajo se presenta a dos entrevistas en las empresas A y
B. En la entrevista de la empresa A obtiene una puntuación de 9, con una media de
puntuación de 7 para la totalidad de los candidatos y una varianza de 4. En la entrevista de la
empresa B obtiene una puntuación de 8,con una media de puntuación de 6 para la totalidad
de los candidatos y una desviación típica de 1,5 ¿En qué entrevista ha obtenido esa persona
una mejor puntuación relativa?
Solución:
Si se supone que la puntuación de los candidatos se distribuye normalmente en ambos casos,
tendrá una puntuación mejor en la entrevista que más se aleje en desviaciones típicas de la
media correspondiente.
En laempresa A:

x A = 7; A = 2  (la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza).
Si su puntuación ha sido 9, está una desviación típica por encima de la media.
En la empresa B:

x B = 6; B = 1,5
Si su puntuación ha sido 8, es 2 : 1,5 = 1,33 desviaciones típicas superior a la media.
Por tanto, su puntuación relativa ha sido mejor en la empresa B.
NOTA: Podría calcularse la probabilidad de queotro candidato esté por debajo de él en cada
una de las empresas.
97

En la empresa A:
P(X < 9) = P Z 
  P( Z  1)  0,8413
2 

86

En la empresa B:
P(X < 8) = P Z 
  P( Z  1,33)  0,9082
1,5 


José María Martínez Mediano

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Probabilidad

5. La talla de los recién nacidos se distribuye normalmente, pero mientras que en la
Comunidad Autónoma A la...