Problemas de ecuaciones diferenciales

PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
Manuel Calvo CURSO 2005/06

´ Indice general
´ ´ 1. METODOS ELEMENTALES DE INTEGRACION 1.1. Ecuaciones de variables separables . . . . . . . . . . . . 1.2. Problemas de ecuaciones homog´neas . . . . . . . . . . e 1.3. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . . . . . . 1.5.Ecuaciones de tipo Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Campos de pendientes de ecuaciones diferenciales . . . 1.7. Trayectorias ortogonales a una familia de curvas . . . . 2. 3 . 3 . 5 . 6 . 7 . 11 . 11 . 14

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y ECUACIONES DE ORDEN SUPERIOR 2.1. Sistemas lineales con coeficientes constantes . . . . . . . . . . 2.2.Sistemas y ecuaciones lineales con coeficientes variables . . . . 2.3. Sistemas lineales con coeficientes peri´dicos (Teor´ de Floquet) o ıa 2.4. Sistemas lineales matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. M´todos operacionales en ecuaciones lineales . . . . . . . . . e

16 16 21 23 28 31

´ 3. EXISTENCIA, UNICIDAD Y PROLONGACION DE SOLUCIONES 32 3.1. La condici´n de Lipschitz . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 32 o 3.2. Existencia, unicidad y prolongaci´n de soluciones . . . . . . . 33 o ´ 4. INTRODUCCION A LA TEOR´ CUALITATIVA DE ECUAIA CIONES DIFERENCIALES 41

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Prefacio
Esta colecci´n de ejercicios tiene como objetivo b´sico servir de como a plemento a la asignatura de Ecuaciones Diferenciales para alumnos de Matem´ticas de segundo curso en el vigente plan deestudios de la Facultad de a Ciencias de Zaragoza. Puesto que es una asignatura cuatrimestral de car´cter introductorio, se a insiste especialmente en los m´todos elementales de integraci´n , en los sise o temas y ecuaciones lineales, en los aspectos relacionados con la existencia, unicidad y prolongaci´n de soluciones y, como no, se hace una breve introo ducci´n a la teor´ cualitativa ya que estet´pico se estudia en detalle en otro o ıa o curso posterior. Posiblemente los ejercicios mas dificultosos para los alumnos resulten los relativos a la existencia, unicidad y prolongaci´n de soluciones, o pero creemos que su resoluci´n ayuda a profundizar y analizar con rigor los o teoremas b´sicos de la teor´ de EDOs y, en nuestra opini´n, este aspecto es a ıa o esencial en la formaci´n matem´tica.o a Se han incluido solamente los enunciados de los ejercicios con la idea de que aquellos que no se resuelvan en clase sirvan como material para el trabajo individual del alumno. El autor quiere manifestar, en primer lugar, su sincero agradecimiento a los alumnos de los ultimos cursos por sus observaciones y sugerencias que ´ han motivado la revisi´n y mejora de la colecci´n. En segundo lugar alos o o compa˜eros del Departamento, en particular a Leandro Moral, por ayuda y n colaboraci´n en la elaboraci´n del material. o o

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Cap´ ıtulo 1 ´ METODOS ELEMENTALES ´ DE INTEGRACION
1.1. Ecuaciones de variables separables

1) Calcula, por separaci´n de variables, la soluci´n general de las siguieno o tes ecuaciones de primer orden. Adem´s, en caso de dar condiciones iniciales, adetermina las soluciones de los problemas de valor inicial (PVI) as´ como su ı intervalo maximal de definici´n. o 1). . . . . . . . . . . 2). . . . . . . . . . . 3). . . . . . . . . . . 4). . . . . . . . . . . 5). . . . . . . . . . . dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx x2 + 1 , y(−3) = 4, 2 − 2y x =− , y(1) = 2 y 3x + 3xy 2 =− 2 . yx + 2y x2 + x2 y 2 = . y 2 + x2 y 2 x + xy 2 = , y(1) = 0. 4y = y(−3) = −2.3

6). . . . . . . . . . . 7). . . . . . . . . . . 8). . . . . . . . . . . 9). . . . . . . . . . . 10). . . . . . . . . . . 11). . . . . . . . . . .

dy dx dy dx dy dx dy dx dy dx dr dθ

= −3y cot(x), =−

y(π/2) = 2.

sen2 y , y(π/4) = π/4. cos2 x y =− 3 2 . x y + x3 3x + xy 2 =− , y(2) = 1. 2y + x2 y (y 2 + 2y − 3)(x − 2) = 2 , (x + 2x − 3)(y − 2) sen θ + e2r sen θ = , r(π/2) = 0....