problemas de ecuaciones lineales

Ecuaciones

Problemas

Ejercicios resueltos

1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:

Determinar el largo de cada auto.
Soluci´n: Sea x el largo de cada auto.
o
De acuerdo a la figura, la ecuaci´n que modela este problema es:
o
3x + 4 = 2x + 7
Resolviendo esta ecuaci´n se obtiene que x = 3.
o
Respuesta: Cada auto mide 3 metros.

2. Un farmac´utico debe preparar15ml de gotas especiales para un paciente con glaue
coma. La soluci´n debe tener 2% de ingrediente activo, pero s´lo tiene disponibles
o
o
soluciones al 10% y al 1%. ¿Qu´ cantidad de cada soluci´n debe usar para come
o
pletar la receta?
8

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Ejemplos resueltos

9

Soluci´n: Sea x = cantidad de ml de la soluci´n al 10%
o
o
Para ayudar a entender el problema, setraza un esquema, como el siguiente.

Cantidad de ml en cada caso
Cantidad de ingrediente activo en cada caso

A
x

B
15 − x

C
15

0.1x

0.01(15 − x)

0.02 · 15

Luego, la ecuaci´n que modela este problema es:
o
0.1x + 0.01(15 − x) = 0.02 · 15
Resolviendo esta ecuaci´n (lineal) se obtiene que x =
o

5
3

≈ 1.7.

Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la soluci´n al 10%y 8.3ml de la soluci´n al
o
o
1%, para obtener 15ml al 2%.

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

Universidad de Talca

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Ejemplos resueltos

10

3. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10
Km/h. Cinco minutos despu´s, un segundo corredor comienza en el mismo punto,
e
y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por lamisma pista. ¿Cu´nto tiempo
a
tardar´ el segundo corredor en alcanzar al primero?
a
Soluci´n: Sea t el n´mero de horas que recorre el primer corredor. Como el
o
u
1
segundo corredor sale 5 minutos ( 12 horas) despu´s que el primero, el tiempo que
e
1
recorre el segundo es (t − 12 ) horas. Esto conduce a la siguiente tabla.
Velocidad Tiempo
Corredores
Km/h
Horas
Primero
Segundo

1013

t
1
t − 12

distancia
Km.
10t
1
13(t − 12 )

Luego, como en el momento en que el segundo corredor alcanza al primero, ambos
han recorrido la misma distancia, la ecuaci´n que modela este problema es:
o
10t = 13(t −

1
)
12

Resolviendo esta ecuaci´n (lineal) se obtiene que t =
o

13
36

≈ 0.36horas = 21.6min.

Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en21.6min, aproximadamente.

Inst. de Matem´tica y F´
a
ısica

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Ejemplos resueltos

11

4. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $6 por unidad y
costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determinar el
n´mero de unidades que deben vender para que la compa˜´ obtenga utilidades de
u
nıa
$60 ycalcular el margen por unidad.
Soluci´n: Se tiene que
o
Utilidades = Ingresos totales − Costos totales
Ingresos totales = Cantidad vendida × precio de venta
Costos totales = Costos variables + Costos fijos
Sea q = n´mero de unidades que deben ser vendidas.
u
Luego el modelo para el problema es:
10q − (6q + 80) = 60
Resolviendo esta ecuaci´n lineal se tiene que:
o
10q − (6q + 80)
4q −80
4q
de donde se obtiene q

=
=
=
=

60
60
140
35

Respuesta: Es necesario vender 35 unidades para obtener utilidades de $60.

5. Un grupo de j´venes decide pagar por partes iguales el arriendo de $14.000 de un
o
bote. A ultima hora, tres de los j´venes se arrepintieron, con lo cual la cuota de
´
o
cada uno de los restantes j´venes subi´ en $1.500.
o
o
Inst. de Matem´tica yF´
a
ısica

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Ejemplos resueltos

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(a) ¿Cu´ntos j´venes hab´ en el grupo original?
a
o
ıa
(b) ¿Cu´nto pag´ cada uno de los j´venes del grupo final?
a
o
o
Soluci´n: Sea n el n´mero inicial de j´venes. Ordenemos la informaci´n del
o
u
o
o
problema en la siguiente tabla.
N´mero de j´venes Valor cuota de c/u
u
o
Situaci´n...