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logaritmo natural
El logaritmo natural suele ser conocido normalmente como logaritmo neperiano, aunque esencialmente son conceptos distintos. Para más detalles, véase logaritmo neperiano.
En matemáticas se denomina logaritmo natural o informalmente logaritmo neperiano al logaritmo cuya base es el número e, un número irracional cuyo valor aproximado es 2,7182818284590452353602874713527. Ellogaritmo natural se suele denominar como ln(x) o a veces como loge(x), porque para ese número se cumple la propiedad de que el logaritmo vale 1.
El logaritmo natural de un número x es entonces el exponente a al que debe ser elevado el número e para obtener x. Por ejemplo, el logaritmo de 7,38905... es 2, ya que e2=7,38905... El logaritmo de e es 1, ya que e1=e.
Desde el punto de vista del análisismatemático, puede definirse para cualquier número real positivo x>0 como el área bajo la curva y=1/t entre 1 y x. La sencillez de esta definición es la que justifica la denominación de «natural» para el logaritmo con esta base concreta.2 Esta definición puede extenderse a los números complejos.
El logaritmo natural es entonces una función real con dominio de definición los números realespositivos:

y corresponde a la función inversa de la función exponencial:


La ley de cosenos
La ley de cosenos se puede considerar como una extención del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de untriángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno delángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones:


Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos.
Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos.
Ejemplo:
Supongamos que en eltriángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado.
Solución:
Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos:




Círculo unitario y puntos circulares
 
Las funciones circulares que estudiaremos se basan en una función cuyo dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de puntos del círculo unitario. El círculo unitarioes un círculo de radio 1 con centro en el origen del sistema de coordenadas, esto es, el punto (0,0) y su ecuación es x2 + y2 = 1.
 
Cada número real de la recta numérica se asocia con las coordenadas de un punto en el círculo unitario llamado punto circular. Para eso, primero asumimos que la recta numérica tiene la misma escala que la del círculo unitario. Luego, localizamos el 0 en la rectanumérica de manera que coincida con el punto (1, 0) en la unidad del círculo. Entonces, el eje real positivo se enrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj y el eje real negativo se enrolla en el sentido de las manecillas del reloj. De manera, que cada número real de la recta real se asocia con un sólo punto circular del círculo unitario. En la página 340 del texto puedes observarla forma en que se enrolla la recta al círculo unitario.
 
Como el radio del círculo unitario es 1, entonces la circunferencia del círculo es:
 

 
Así que un cuarto, una mitad y tres cuartos de la circunferencia son respectivamente:
 







De manera que, los puntos circulares correspondientes en los ejes coordenados son: 
Nota: Observa que las coordenadas de los puntos circulares P(0) y P(2p) son iguales.
 
 
 
Polinomios
Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos



Están hechos de:

constantes (como 3, -20, o ½)

variables (como x e...