Problemas de matematicas

Problemas Matemáticas Grupo de ejercicios
asesorías

Realizar las integrales por el método de integración por partes.
a)

En ocasiones es difícil reconocer quién podría ser u y quien dv en el método de integración por partes, a veces resulta que una de las 2 opciones no es posible de resolver como es el caso del ejercicio del logaritmo natural de x mencionado anteriormente debido a que nopuede integrarse por formula directa de las tablas. Otro caso es que una de las opciones nos lleva a tener en el resultado integrales que se vuelven a repetir cíclicamente sin llegar a un resultado concreto. Y existen casos en los que las 2 opciones son viables, pero una de ellas llega uno más rápido al resultado que la otra opción, y es donde la práctica nos hace reconocer cuál es el mejor,veamos qué sucede en este caso.

 xe

x

dx

u

dv

dv

u

1era. OPCIÓN

2da. OPCIÓN

Veamos que si tomamos la sugerencia de u y dv de la segunda opción, xdx sería el término dv, que al momento de integrarlo obtendremos la misma variable pero elevada al cuadrado, eso quiere decir que ha aumentado la potencia y por lo tanto se haría más compleja su resolución e inclusiveinnecesaria. Pero si escogemos la primera opción veamos que resulta más práctico derivar a la x:
ux dv  e dx
x

 du  1 dx  v  e  x

De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene:

 xe

x

dx  u v   v du  x  e x     e x   dx    xe x   e x dx

Ahora podemos ver que el resultado contiene una integral que tenemos que terminar porresolver, dicha integral es posible solucionarla con las formulas inmediatas o directas de las tablas, eso indica que vamos bien: Resolviendo aisladamente esa integral:

e

x

dx  e x  C

Ahora uniendo esta parte al resultado total:

 xe

x

dx   xe x   e x dx   xe x  e x  C

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b)

e x sin xdx 

Para resolverla tenemos que visualizar las 2funciones existentes en la integral que se encuentran en términos de la misma variable, o sea x. La primera función es e x La segunda función es sin x dx Y ambas funciones se encuentran multiplicándose. Hay que integrar todo en términos de la variable x. Para empezar a resolver este problema tenemos que hacernos una pregunta ¿qué método utilizar para resolverla? ¿Se puede resolver por alguna fórmulainmediata o directa de la tabla de integrales? No, debido a que no hay una fórmula que contenga a x elevada a una potencia y multiplicando a Cos x ¿Por sustitución trigonométrica? En estos ejercicios normalmente hay un término en la integral a resolver que contiene una raíz cuadrada de un binomio de cuadrados. Entonces se sugiere el método de integración por partes porque podemos separar 2 funciones dela misma integral de la siguiente forma:
Función a Integrar Fórmula de integración por partes

Derivar

Integrar

Nota que la parte que hay que derivar o sea la derivada de u con respecto a x es:
Derivar

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Y el término dv se integra de la siguiente manera:
Integrar Integración de (sin x) con respecto a “x”

Integración de (1) con respecto a “v”

Con esta breveexplicación sobre cómo se obtienen los términos necesarios que la fórmula de integración por partes nos pide, resumimos lo ya obtenido:
u  ex  du  e x dx

dv  sin x dx  v   cos x

Ahora solo hay que acomodar los términos anteriores en el mismo orden que la fórmula de integración por partes señala; reescribiremos la función original:

e

x

sin x dx  u v   v du  e x   cos x     cos x   e x dx   e x cos x   e x cos x dx

1

Pero resulta que la nueva función contiene de nuevo una integral que resolver; ahora es x  e cos x dx ; ya que no podemos dejar el resultado de la integral original en términos de otra

integral tendremos que resolver ese nuevo término por algún método de integración, en nuestro caso es necesario aplicar otra vez integración por...