PROBLEMAS DE MATEMATICAS

PROBLEMAS
DE
MATEMÁTICAS

 

Ubaldo Usunáriz Balanzategui
Ignacio Usunáriz Sala 
 
 

1

2

ÍNDICE
 
 
PRÓLOGO

5

ÁLGEBRA
Sección A

Operaciones (94 problemas)

Sección B

Sistemas de numeración (16 problemas)

21

Sección C

Divisibilidad numérica (49 problemas)

25

Sección D

Combinatoria (28 problemas)

35

Sección E

Determinantes (33 problemas)

43

Sección F

Divisibilidad algebraica(34 problemas)

57

Sección G

Ecuaciones (255 problemas)

63

Sección H

Ecuaciones diofánticas (12 problemas)

117

Sección I

Inecuaciones (12 problemas)

119

Sección J

Fracciones continuas (8 problemas)

123

Sección K

Números complejos (40 problemas)

125

Sección L

Límites - Sucesiones (127 problemas)

133

Sección M

Series (110 problemas)

159

Sección N

Vectores (13 problemas)

SecciónÑ

Mecánica (17 problemas)

189
193

7

TRIGONOMETRÍA
Sección O

Operaciones - Ecuaciones (54 problemas)

197

Sección P

Trigonometría plana (50 problemas)

Sección Q

Trigonometría esférica (71 problemas)

207
223

CÁLCULO DIFERENCIAL
Sección R

Derivadas de funciones de una variable (81 problemas)

245

Sección S

Desarrollos en serie de funciones de una variable (48 problemas)

261

SecciónT

Máximos y mínimos de funciones de una variable (23 problemas)

Sección U

Funciones de dos o más variables (130 problemas)

273
279

CÁLCULO INTEGRAL
Sección V

Integrales (74 problemas)

311

Sección W

Integrales definidas (38 problemas)

323

Sección X

Integrales en campos de dos o más variables (22 problemas)

333

Sección Y

Aplicaciones geométricas de las integrales (32 problemas)Sección Z

Ecuaciones diferenciales (80 problemas)

341
351

ESTADÍSTICA
Anexo

Estadística (27 problemas)

369

3

 

4

PRÓLOGO

Este libro, Problemas de Matemáticas, junto con otros dos, Problemas de Geometría y
Problemas de Geometría Analítica y Diferencial, están dedicados a la presentación y resolución
de problemas que se planteaban hace unas décadas, en la preparación para ingreso en lascarreras de ingeniería técnica superior.
Incluye 1578 problemas, de los que 848 se refieren al Álgebra (operaciones algebraicas,
divisibilidad, combinatoria, determinantes, ecuaciones e inecuaciones, fracciones continuas,
números complejos, límites, sucesiones y series, y algunos sobre vectores y mecánica), 175 a la
Trigonometría (plana y esférica), 282 al Cálculo diferencial (funciones de una variable,y de dos
o más variables), 246 al Cálculo integral (integrales, integrales definidas, integrales en el campo
de dos o más variables y ecuaciones diferenciales) y 27 a la Estadística.
Esta tercera edición de Problemas de Matemáticas tiene por objeto su puesta a disposición de la
Escuela de Ingenieros de Minas de la Universidad Politécnica de Madrid.

Madrid, verano 2012

5

 

6

Problemas deÁlgebra
Sección A - OPERACIONES

4
3
3
4
A 1- Simplificar todo lo posible, la siguiente expresión: a  ab 2 − a 2 b − b .

a −b

Solución: a − ab − b .
2

2

A 2- Simplificar todo lo posible, la siguiente expresión:

2a 2 6b − 7a − 3b 2 3a − b  3a − 2b5a 2  ab  2b 2 
, y hallar su verdadero valor para
a2 − b2
a  b  2.
2
2
Solución: a  6ab  b . Sustituyendo a y b por 2, se obtiene 8.ab
a
b
c


.
b − ac − a
c − ba − b
a − cb − c
−ab − c − bc − a − ca − b
0
Solución:

 0.
a − bb − cc − a
a − bb − cc − a

A 3- Simplificar la expresión:

3
2
 11x − 6 .
A 4- Simplificar la expresión: x − 6x
2

x − 5x  6

Solución: x − 1.
1 − 426  2 12
697

A 5- Hallar el valor exacto de la expresión

Solución:

7 − 426
2 697
7 : 41
2 8



4879 − 852
1394
56
82

4027x82 
1394x56

:

3 12
.
5 18

4027
 1
4x17x14
2

4027 .
238

A 6- Simplificar lo más posible, la siguiente expresión:

a 2 2a  1  b 2 3b − 1 − aba − 4b
a1 − b − 2a  b3b − 1

.
a−b
a 2 − 2ab  b 2
Solución:
2
2
2a 3  a 2  3b 3 − b 2 − a 2 b  4ab 2  a − ba − ab − 2a 2  3b 2 − b
 2a  8ab −2 2ab .
2
a − b
a − b
1

A 7- Hallar

el

x  a −1 2a − 1
b

valor
1
2...