Problemas De Matemeticas I Del Baldor

COLEGIO DE BACHILLERES
PLANTEL 5



TEMAS SELECTOS DE MATEMATICAS II





CURVAS DE SEGUNDO GRADO:

ELIPSE

HIPERBOLA






INDICE



CURVAS DE SEGUNDO GRADO: ELIPSE
EJEMPLOS
Bibliografía:
1er. Concepto: Enciclopedia Del Saber pág. 186 y 185
2ndo. Concepto: Diccionario Enciclopédico Baber pág. 647


CURVAS DE SEGUNDO GRADO: HIPERBOLA
EJEMPLOS
Bibliografía:1er. Concepto: Enciclopedia Del Saber pág. 186 y 187
2ndo. Concepto: Diccionario Enciclopédico Baber pág. 899














CURVAS DE SEGUNDO GRADO: LA ELIPSE.

( Se llama elipse a la figura constituida por todos los puntos de un plano, cuyas distancias a dos fijos del mismo plano suman una longitud constante.
Esos dos puntos fijos se llaman focos, y se indican por F Y F´. Ladistancia de éstos a un punto M de la elipse son los radios vectores del punto, FM = p y FM´ = p´. La distancia focal se indica habitualmente por 2c, y la suma constante p + p´ suele indicarse por 2a:

FF´= 2c, MF+MF´= 2a

Por ser MF + MF´< FF´ resulta inmediatamente a > c. Para obtener la ecuación de una elipse vamos a imaginarla situada de modo que los dos focos queden en el eje de abscisas ysimétricos respecto al origen; así que sus coordenadas serán,

F = (- c, 0) F´- (c, 0)

Si en el punto M (x, y) es de la elipse, debe cumplirse que MF+ MF´ = 2a. Pero como es MF = (x + c) + y, MF´ = (x - c) + y, la definición de elipse se traduce en la ecuación

(x + c) + y + (x – c) + y = 2a

Con sencillas transformaciones algebraicas queda, sin radicales:

(a – c )x + a y + a(a – c ).

Como a > c, la diferencia entre paréntesis es positiva. Poniendo ahora

b = a - c

tal ecuación se escribirá b x + a y = a b y, finalmente, dividiendo por a b queda



Esta es la llamada forma canónica de la ecuación de la elipse. En su expresión analítica están encerradas todas las propiedades geométricas de la curva.

Forma de la elipse
Lo mismo que en el caso dela circunferencia se comprueba que la elipse es simétrica respecto a los ejes y al centro. Asimismo, despejando sucesivamente las variables



se hace patente que debe ser I x I < a, I y I < b, luego la curva está encerrada en el rectángulo limitado por las rectas

x = + a; y = + b.

Para y = 0 resulta = + a [puntos A ( -a, 0) y A´(a, 0)]. Por consiguiente, el eje mayor de laelipse tiene una longitud igual a 2a. Análogamente, para x = 0 es y = + b [puntos B y B´], luego el eje menor de la elipse tiene una longitud igual a 2b.

Excentricidad
Se llama excentricidad de una elipse, al numero e definido por la relación


La excentricidad determina por completo la forma de la elipse, salvo semejanzas (es decir, no determina el tamaño, naturalmente). Como es c < a elvalor de e está comprendido entre 0 y 1.



( Elipse es la curva cerrada, simétrica respecto de dos ejes perpendiculares entre sí, con dos focos, y que resulta de cortar un cono circular por un plano oblicuo al eje y que encuentra a todas las generatrices del mismo lado del vértice.




CURVAS DE SEGUNDO GRADO: LA HIPERBOLA.

( Se llama hipérbola a la línea que forman todos los puntos deun plano cuyas distancias a dos fijos se diferencian en una cantidad constante.
El par de puntos fijos son los focos de la hipérbola, indicados por F y F´. Si M es un punto de la hipérbola FM = p y F´M = p´ son los radios vectores del punto. La diferencia MF – MF´ constante se indica por 2a, y si llamamos 2c = FF´ a la distancia focal, resulta inmediatamente c > a.
Cuando referimosla hipérbola a los ejes, de modo que las coordenadas de los focos sean F( -c, 0), F´(c, 0), un cálculo análogo al desarrollo para la elipse, poniendo ahora

b = c – a

Nos da en forma canónica la ecuación de la hipérbola:



Forma de la hipérbola
Al igual que en los casos de la circunferencia y la elipse, se observa que la hipérbola es simétrica respecto a los ejes y al centro.
No hay...