Problemas De Matemática

7. Un estudio de productividad en el turno matinal en una cierta fábrica indica que un trabajador medio que llega al trabajo a las 8.00 a.m. habrá ensamblado radio transistores x horas después.
¿En que momento de la mañana esta actuando el trabajador con máxima eficacia?

Cantidad de radios producida por hora=

Para hallar el momento en que es mas eficiente, encontraremos en que hora eltrabajador alcanza su mayor nivel de producción, para ello derivaremos la función de producción e igualaremos la primera derivada a cero, mientras que para demostrar que realmente es la máxima producción calcularemos la segunda derivara, la cual debe ser negativa para demostrar el máximo nivel de producción.




t no puede ser -1 ya que el tiempo no se puede expresar enunidades negativas

Ahora comprobaremos que es la máxima productividad..

y como



8. Un fabricante ha estado vendiendo bombillas a 6 dólares cada una y, a este precio, los consumidores han estado comprando 6,000 bombillas por mes. El fabricante desearía elevar el precio y estima que por cada dólar de incremento en el precio se venderán 1,000 bombillas menos cada mes. El fabricantepuede producir las bombillas a un coste de 4 dólares por bombilla. ¿A qué precio debería vender el fabricante las bombillas para generar al mayor beneficio posible?

P1=6 Q1=6000

P2=6+x Q2=6000-1000x C = 4x

Ahora estableceremos la función beneficio la cual la derivaremos para poder calcular el máximo beneficio y si la 2da derivada esnegativa comprobaremos lo dicho.

y

Entonces diremos que el fabricante para obtener más beneficios lo que debe hacer es reducir el precio en 0.002 hasta 5.998

9. Las funciones de oferta y demanda de un cierto articulo son S(p)=4p + 200 y D(p)= -3p +480, respectivamente. Halle el punto de equilibrio y el correspondiente número de unidades ofertadas y demandadas, y dibujelas curvas de oferta y demanda en el mismo conjunto de ejes.

S(p)=4p + 200 D(p)= -3p +480

En punto de equilibrio: S(p) = D(p)

4p + 200 = -3p +480 7p = 280 p = 40

S(40)=4(40) + 200=360 D(40)= -3(40) +480=360

10. Una empresa de artículos electrónicos utiliza 600 cajas de transistores cada año. El costo dealmacenamiento de una caja durante un año es 90 centavos, y los gastos de envío son $30.00 por pedido. ¿Cuántas cajas debe solicitar la empresa en cada envío para mantener el costo total en un mínimo?

SOLUCIÓN

En 600 cajas a x cajas por pedido el número de pedidos es = 600/x.
Costo de solicitud a $30 cada uno = (30)(600)/x = 18,000/x.
El costo de almacenamiento = (x/2)(.90)= .45x
El costototal es C = .45x + (1800/x).
Su derivada es C = .45 - (1800/x²) = 0
.45x² = 1800
x = sqr(18000/.45) = 200 cajas

Probaremos que este valor hace un mínimo en C:
La segunda derivada es C'' = 36,000/x³ y si hacemos x=200, resulta C'' >0 que es la condición necesaria y suficiente para hacer un mínimo.

11. Por medio de sus estaciones autorizadas, una compañía petrolera distribuye16,000 mapas de carreteras cada año. El costo de poner en marcha una impresora para editar los mapas es $100.00 por cada jornada de producción. Además, los costos de producción son 6 centavos por mapa y los costos de almacenamiento son 20 centavos por mapa al año.

Los mapas se distribuyen a un ritmo uniforme durante el año y se imprimen en lotes iguales, espaciados, de manera que cada uno llegajusto cuando el anterior se ha agotado. ¿Cuántos mapas debe imprimir la compañía petrolera en cada lote para minimizar el costo?

SOLUCIÓN

16,000 mapas a x mapas por jornada, resulta un número de jornadas = 16,000/x
Costo de puesta en marcha = 100 (16,000/x) = 1'600,000/x
Costo de producción = (.06) (16,000) = $ 960.00
Costo de almacenamiento = (x/2)(.20) = .1x
Costo total C = 960 +...