Problemas De Maximos Y Minimos

7) ¿Cuáles son las dimensiones de u cono con área de superficie 10 π que encierra el mayor volumen? [Indicación: Área de superficie= π r(h2 + r2)1/3 ; volumen ⇒1/3 π r2 h] (1).
Solución: la cantidad que se debe maximizar es
el volumen v= 1 3 π r2 h el área de la superficie es:
10 π=π r (h2 + r2)1/2, se resuelve para h en términos
de r y queda: h= (100r2 – r 2)1/2 y luego se reemplaza a hen (1) así: v= 1 3 π r2 (100r2 – r2)1/2 = 1 3 π r (100-r4)-1/2 ⇒
v'(r) =2π100-3r4 3100-r41/2 = 0 ⇒ 100-3 r4 = 0 ⇒r = (1003)1/4 ⇒
r2 = (1003)1/2 =10√33 ; h =( 100x310√3- 10√33)1/2 ⇒
h=[103 (1 - 1 3 )]1/2 = (20√33)1/2 = 2 (5√33)1/2 .luego las
dimensiones de r y h son: r = 10√33 = 41003 y h = 2 4253
8) Un silo consta de un cilindro con una parte superior hemisférica. Hallar lasdimensiones del silo con un volumen fijo de v = 40 π /r que tiene la menor área de superficie. Inclúyase el piso.
Solución: se toma el volumen del hemisferio y del cilindro
Y de las áreas de cada uno. El volumen de una esfera es:
V = 43 π r3 y su área es A = 4 π r2.El volumen de un cilindro
esta dado por: Vc = π r2 h y el área de la superficie del cilindro
incluyendo su base es: Ac = 2 π r h +π r2.luego el volumen del
silo esta dado por: V = 23 π r3 + π r2 h y su área por:
A=2πr2 + 2πrh + πr2 ⇒ A = π(3r2 + 2rh).hay que minimizar el
área y despejar h del volumen que es fijo entonces: 40 π3=23πr3+πr2h⇒
40 3r-2 – 23r y se sustituye en el área: A= π(3r2 + 2r(40 3r-2 – 23r)) =
= π(3r2 + 803r-1 - 43r2) = π( 53r2 + 803r-1) se deriva: A'(r)= π(10 r 3- 803r-2)
Si A'(r)=0 ⇒ 103r-803r-2=0.
10 3r3 - 803=0 ⇒ 10 r3-80 3=0 ⇒ 10 r3-80=0 ⇒ 10 r3=80
r3=8 ⇒ r=38 =2; luego h=40 3(2)-2 - 23(2)= 40 12- 43= 40-16 12= 24 12=2
⇒ h=2 y r =2 R/: luego el silo tiene radio 2 y altura 2.
9) Se va a fabricar un recipiente cilíndrico abierto, de volumen de 1 pie3. Hallar las dimensiones que minimizan el área del material usado en su construcción.
Solución: el área del material será: A=2πr h + π r2 para hallar
h en función de r si tiene que V= π r2 h y v=1 ⇒ h= 1 πr2⇒
A=2πr1 πr2+πr2=2 π + π r2 se deriva a con respecto a “r” ⇒
A'r=-2r2 + 2πr ⇒ A'r=2(πr3-1 r2) se iguala a cero⇒2(πr3-1 r2)=0⇒
πr3 -1=0 ⇒ r3=1 π ⇒ r =31 π pies. Reemplazo en h y queda
h=1π[1π1/3]2 = 1[π31π2] = 13π3 1π2 = 13π = (π)-1/3 pies.
10) Hallar las dimensiones del cono circular recto de área máxima desuperficie que puede inscribirse en una esfera de radio r = 1.
Solución: el área del cono es: A= π r s donde “s”
Es la generatriz ⇒de acuerdo a la figura s=h2 + r2
A=π r.(h2 + r2)1/2 como la esfera tiene radio 1 entonces
H=1+x = 1+ (1 - r2)1/2 aquí hay dos posibilidades: escoger
Como variable a “x” o a la variable r .al reemplazar el área
En función de r se hace más complejo por lo tanto seReemplaza en función de x. Luego: X2 = 1- r2 ⇒ r2 =1-x2
A2= π2 r2(h2 + r2) ⇒ A2= π2(1-x2)[(1+x)2 + (1+x2)] ⇒
A2=2 π2(1+x-x2-x3) ⇒da2dx = 2 π2(1-2x-3x2)=0⇒
2 π2(1-3x)(1+x)=0⇒(1-3x)=0⇒x=13 1+x=0⇒x=-1 el valor -1 no
Es válido por lo tanto se toma x=13⇒h=1+13 = 43 r= (1-19)1/2 = 2√23
11) Un hombre está en un bote y se encuentra a 24 km de distancia de una playa recta y desea un punto situado a20 km de la playa. Puede viajar a 5 km por hora en el bote y a 13 km por hora en tierra. ¿En qué punto deberá atracar el bote con el objeto de minimizar el tiempo que se requiere para llegar al destino deseado?
Solución: tómese x el número de kilómetros desde
Un punto p, la distancia que debe recorrer a 5 km/h es
d1= (242+x2)1/2 o sea que el tiempo será: t=d1v1 ⇒t=x=(242+x2)5 ,
la distanciaque recorre a lo largo de la playa es:d2 = 20-x o sea
que t2 =d2v2⇒d t2= 20-x13 el tiempo total será t1= t1 + t2⇒tr=(242+x2)5 +
20-x13 derivando esta expresión queda: dtrdx= 15 x(242+x2)-1/2 - 113 se
Iguala a cero⇒ dtrdx= 15 x(242+x2)-1/2 – 113=0⇒13x=5(242+x2)1/2 ⇒
169x2=25(242+x2) ⇒ x2 = 25(24)2144⇒x2 =14400144=100⇒x=√100=10 km.
12) Un cartel deberá contener una parte impresa de 150...