Problemas De Metodos Matematicos

Problemas de ecuaciones lineales y autovalores
C. Suàrez 14 de octubre de 2010

1
1.1

Enunciados
Métodos directos y factorizaciones matriciales
  x+y+z+t    x − y + 2z + t   2x + z +t  

1. Resolver por el método de Gauss pivote parcial el siguiente sistema: = = = 4x + 2y − z + 2t = 10 9 9 13

2. Sea el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
  2x + 3y − z 

x − y +3z   y−z

= 4, = −4, = 2

(a) Demostrar que la matriz de los coeficientes admite factorización LU . (b) Resolver el sistema por dicho método. 3. Hallar la inversa de cada una de las matricessiguientes usando el método de eliminación gaussiana:


1 1 1 A= 0 1 1    1 0 1





   B=   

1 0 0 0 0

a a 2 a3 a4  1 a a 2 a3   0 1 a a2   0 0 1 a   0 0 0 1


14. Dado el sistema de ecuaciones lineales AX = b siguiente:
  2x − y+ 

= 3 −x + 2y − z = −3   −y + 2z = 1 Demostrar que la matriz A del sistema admite factorización de Cholesky yresolverlo usando dicha factorización. 5. Resolver el sistema AX = b siguiente:
    

−5 −10 −15 −5 0 0 6 5 0 5 −5 0 0 0 8 15

    

x y z t





    =  

1 0 1 25

   

mediante la factorización QR de la matriz A de los coeficientes del sistema.

1.2

Condicionamiento

6. Calcular el condicionamiento (infinito) de las siguientes matrices y determinarsi están bien o mal condicionadas. A= 103 0 0 103 B= 103 0 0 1

1.3

Métodos iterativos

7. Dado el sistema de ecuaciones lineales siguiente:
  10x − y + 2z − 3t = 0   

x + 10y − z + 2t 2x + 3y + 20z − t   

= 5 = −10 3x + 2y + z + 20t = 15

(a) Demostrar que los procesos de iteración de Jacobi y Gauss-Seidel para el sistema siguiente son convergentes.

2

(b)Hallar una aproximación a la solución mediante ambos métodos (4 iteraciones), tomando como vector inicial el vector nulo. (c) Estimar el número de iteraciones necesarias para hallar la solución con un...