PROBLEMAS DE MEXICO
Páginas: 6 (1435 palabras)
Publicado: 18 de junio de 2013
Razón de cambio (de una variable respecto a otra) es la magnitud del cambio de una variable por unidad de cambio de la otra. (También se le llama tasa de cambio.) Si las variables no tienen ninguna dependencia la tasa de cambio es cero.
En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente yrespecto a la independiente x se calcula mediante un proceso delímite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.
En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando ttiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.
Ejemplo
En la función lineal f(x)=mx+b, no es necesario tomar el límite pues f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt y la t secancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t sin necesidad de pasar al límite.
Nótese que m es la pendiente de la recta f(x)=mx+b. Y es la razón de cambio de la altura y (variable dependiente) respecto a la x (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura y por unidad de cambio (aumento) en la x.
En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es lavelocidad: v=d/t (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.
Derivada
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangentea la curva está dibujada en rojo).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo consideradopara la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es lavelocidad de dichoobjeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, porejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez lagráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El procesode encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
UNIDAD III
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Situación: Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = x² en el punto P (3, 9), como se
Solución: Calculamos la pendiente de rectas...
En general, en una relación funcional y=f(x), la razón de cambio de la variable dependiente yrespecto a la independiente x se calcula mediante un proceso delímite --de la razón [f(x+t)−f(x)]/t, denominada cociente diferencial.
En sentido estricto entonces, la razón de cambio es el límite del cociente diferencial cuando ttiende a cero. De esta manera, la razón de cambio es la interpretación fundamental de la derivada de una función.
Ejemplo
En la función lineal f(x)=mx+b, no es necesario tomar el límite pues f(x+t)−f(x)=mx+mt+b−mx−b=mt y la t secancela en la razón [f(x+t)−f(x)]/t sin necesidad de pasar al límite.
Nótese que m es la pendiente de la recta f(x)=mx+b. Y es la razón de cambio de la altura y (variable dependiente) respecto a la x (variable independiente. Viéndolo gráficamente, es el cambio en la altura y por unidad de cambio (aumento) en la x.
En matemáticas escolares la razón de cambio más usada es lavelocidad: v=d/t (distancia recorrida por unidad de tiempo). La velocidad es, de hecho, la razón de cambio ejemplar o prototipo. Por analogía, se le llama "velocidad" a una razón de cambio cualquiera. Por ejemplo, en problemas de proporción inversa.
Derivada
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangentea la curva está dibujada en rojo).
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo consideradopara la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es lavelocidad de dichoobjeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km en entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, porejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez lagráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El procesode encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo.
UNIDAD III
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
LA DERIVADA
Situación: Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva y = x² en el punto P (3, 9), como se
Solución: Calculamos la pendiente de rectas...
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