Problemas de olimpiadas matematicas

Cap´
ıtulo 2

Sucesiones y Series
2.1.
2.1.1.

Progresiones aritm´ticas y geom´tricas
e
e
Sucesiones

Definicion 1 Se llama sucesi´n a cualquier secuencia infinita y ordenada de n´meros
o
u
({aj }j∈N = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) tal que cualquier elemento de esta secuencia este unica´
1
mente determinado.
Ejemplo 2.1.1 (de sucesiones)
2, 6, 12, 20, 30, . . . , an = n(n +1)
1,2, 2,3, 3,4, 4,5, 5,5, . . . , an = 0,1 + 1,1n
1
1 1 1 1 1
, , , , , . . . , an =
2+1
2 5 10 17 26
n
150, 200, 250, 300, . . . , an = 150 + (n − 1)50
1, 2, 8, 16, 32, . . . , an = 2n−1
1, 4, 1, 5, 9, . . . , an = nesimo decimal de π

2.1.2.

Progresiones aritm´ticas
e

Una sucesi´n de n´meros reales, es una progresi´n aritm´tica (P.A) si la difero
u
o
e
encia entre cadat´rmino y el anterior es constante. La constante en una P.A se llama
e
diferencia com´ n y la simbolizaremos con la letra d. Para que una P.A. quede comu
pletamente definida, adem´s de especificar su diferencia com´n d, debemos especificar
a
u
el primer t´rmino de la progresi´n que usualmente se denota a1 .
e
o
Ejemplo 2.1.2 (de P.A.’s)
0, 1, 2, 3, 4, . . .

a1 = 0, d = 1

7, 14, 21,28, 35, . . .

a1 = 7, d = 7

10, 1, −8, −17, −26, . . .
1

a1 = 10, d = −9

M´s t´cnicamente, una sucesi´n de n´meros reales es cualquier funci´n f : N → R
a e
o
u
o

44

Sucesiones y Series

´
Observacion 1 Si a1 es el primer t´rmino de una progresi´n aritm´tica cuya diferencia
e
o
e
com´n es d ,entonces :
u
an = a1 + (n − 1)d
Suma de los primeros n t´rminos de una P.A.e
Un problema muy frecuente, es saber calcular la suma de los primeros n t´rminos de
e
una progresi´n aritm´tica. Existe un m´todo, bastante sencillo e ingenioso para calcular
o
e
e
dicha suma y se ilustra a continuaci´n.
o
Consideremos una P.A. definida por a1 = 1, d = 1. Llamemos Sn a la suma de los
primeros n t´rminos de esta P.A. Nuestra tarea ser´ calcular Sn .
e
a
Sn =
1
+
2+
3
+ ··· +
n
Sn =
n
+ (n - 1) + (n - 2) + · · · +
1
2Sn = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + · · · + (n + 1) = n (n + 1)
⇒

Sn = n (n + 1)
2

(2.1)

Ejemplo 2.1.3 Calcular la suma de los primeros 100 n´meros naturales.
u
S100 = 1 + 2 + . . . + 100 =

100 · 101
100(100 + 1)
=
= 5050
2
2

Ejercicio 2.1.1 Sea {aj }j∈N una progresi´n aritm´tica cuyo primer t´rmino es a1 y
oe
e
cuya diferencia com´n es d. Demostrar que la suma de los primeros n t´rminos es :
u
e
a1 + a2 + · · · + an =

2.1.3.

n
[2a + (n − 1)d]
2

Progresiones geom´tricas
e

Una sucesi´n de n´meros reales es una progresi´n geom´trica (P.G) si el cuoo
u
o
e
ciente de cada t´rmino con el anterior es constante. Esta constante se llama raz´n
e
o
com´ n y la denotaremos con la letrar. Adem´s, para que una P.G quede completau
a
mente definida, debemos especificar el primer t´rmino de la progresi´n que denotaremos
e
o
a1 .
Ejemplo 2.1.4 (de P.G.)
1, 2, 4, 8, . . .
−3, 3, −3, 3 . . .
2

3

x, mx, m x, m x, . . . ,

a1 = 1, r = 2
a1 = −3, r = −1
a1 = x, r = m

´
e
o
e
o
Observacion 2 Si a1 es el primer t´rmino de una progresi´n geom´trica cuya raz´n
com´nes r, entonces :
u
an = a1 rn−1

2.1 Progresiones aritm´ticas y geom´tricas
e
e

45

Suma de los primeros n t´rminos de una P.G.
e
Consideremos una P.G cuya raz´n com´n es r y cuyo primer t´rmino es a1 . Llamemos
o
u
e
Sn a la suma de los primeros n t´rminos de esta progresi´n. Nuestra tarea ser´ calcular
e
o
a
Sn .
Sn
= a1 + a1 r + a1 r2 + · · · + a1 rn−1
rSn
=
a1 r +a1 r2 + · · · + a1 rn−1 + a1 rn
Sn − rSn = a1 - a1 rn
Sn (1 − r) = a1 - a1 rn
⇒

n

Sn = a1 1−r
1−r

(2.2)

Series geom´tricas
e
Sea Sn la suma de los primeros n t´rminos de una P.G. De acuerdo a 2.2 ,sabemos
e
que :
1 − rn
a1
a1 n
Sn = a1
=
−
r
(2.3)
1−r
1−r 1−r
Definicion 2 Llamaremos serie geom´trica a la suma de los infinitos t´rminos de una
e
e
progresi´n...