Problemas de optimizacion

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION.

2.- PROBLEMA DEL CENICERO
Suponga que de una hoja de estaño, de 8 x 15 cm. Se hace un cenicero recortando cuadros de igual tamaño de la esquina y doblando las cajas para formar los lados.

IDEA CENTRAL.
Encontrar un corte apropiado en la hoja de 8x15 cm. De tal manera que me permita construir un cenicero de volumen máximo.

a) Si “x” representa la longitudde los lados de los cuadrados recortados de las esquinas, encuentre una fórmula para el volumen del cenicero en términos de “x”.

V= (8-2x) (15-2x) x

b) Encuentre una desigualdad para expresar las restricciones físicas sobre el valor de “x”.

0 < x < 4

|CORTE |0 |1 |2 |3|
|VOLUMEN |0 |9 |4 |0 |

a) Dibuje la grafica de la fórmula del volumen v(x).
[pic]

• LA COORDENADA EN X=1 ES LA SOL. DEL PROBLEMA QUE NOS DA UN VOLUMEN MAXIMO. EN EL PUNTO MAS ALTO DE LA CURVA LA RECTA TANGENTE ES HORIZONTAL Y LA PENDIENTE ES IGUAL A CERO.b) Estime las dimensiones de la caja de máxima volumen.

[pic]

V= (5-2x) (8-2x) x

V= (20-5x-8x+2x²) x
=20x-5x²-8x²+2x³
=2x³-13x²+20x
=2(1)³-13(1)²+20(1)
V= 9 dm³

4.-EL PROBLEMA DEL PATIO (clase no.2)
López y Pérez poseen sendos lotes vecinos de 25 x 50 mts.; López ha construido ya una cerca alrededor de su terreno. Pérez quiere construir ahoraun patio rectangular para su perro, de área tan grande como sea posible, pero no dispone más que de 80 mts. De alambre para cercar. Por supuesto Pérez puede utilizar parte de la era de López para cercar un lado de su patio.

IDEA CENTRAL.
Con 80 metros encerrar el área máxima de un rectángulo.

a) Si “x” representa la longitud de la porción de cerca de López que Pérez comparte, encuentra lafórmula para el área del patio de Pérez, en términos de “x”.

Área: LA
Área máxima.
A= XY………….. (
Perímetro
80= x+2y………. (
Despejar Y de Ec. (
80=x+2y
80-x=2y
80-x = y
2
Y = 80-x f (x)
2
Sustituir Y en Ec. (
A= xy = X [ 80-x ]
2
A(x) = 80x-x²2
A(x) = 40x - x²
2
A(x) = - x² + 40x = - ½ x²+40x
2
A(x) = - ½ x²+40x

b) Encuentre una desigualdad que exprese las restricciones físicas sobre el valor de “x”.

0 ≤ ≥ x ≤ 50

|x |y| Área |
|0 |25 |0 |
|30 |25 |750 |
|40 |20|800 |
|50 |15 |750 |

c) Dibuja una grafica de la fórmula del área A(x).

(40,800) área máxima
[pic]

• La coordenada en x=40 es la sol.Del problema que nos da un área máxima. En el punto mas alto de la curva la recta tangente es horizontal y la pendiente igual a cero.

d) Estime las dimensiones que Pérez debe usar para su patio.

[pic]
[pic]

A(x) = - ½ x²+40x
= - ½ (40)²+40(40)
=...