problemas de parábola

PROBLEMA 1.-
Encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice está (5, -2) y su foco en (5 , -4) .
Solución:
Como el foco está debajo del vértice, la parábola es vertical y se abre hacia abajo,la distancia del vértice al foco es:
P = 2
La ecuación es:
(X-5)2 = -4(2)(Y –(-2))
(X – 5)2 = -8(Y +2)
PROBLEMA 2.-
Encontrar los elementos de la parábola cuya ecuación es: -y2 + 12x + 10y – 61= 0.
Solución:
Como la variable que está al cuadrado es ¨y¨, la directriz de la parábola es horizontal.
Y2 – 10y = 12x – 61
Y2 – 10y + 25 = 12x – 61 + 25
(y – 5)2 = 12(x – 3)
El vértice es V(3, 5) ; la distancia del vértice al foco es :
p= 12/4 = 3
La parábola se abre hacia la derecha, así que el foco es:
F(6 , 5)
La ecuación de la directriz es:
X = 3
X – 3 = 0




PROBLEMA3.-
Encontrar la ecuación de la parábola con eje paralelo al eje X y que pasa por (3/4 , 9) ; (-5/4 , 1) ; (0 , 11).
Solución:
Como el eje de la parábola es paralelo al eje X, entonces la ecuacióngeneral de la parábola tiene la forma:
Y2 + DX + EY + F = 0
Como los tres puntos pertenecen a la parábola, sus coordenadas satisfacen la ecuación anterior. Al sustituir estos valores obtenemos:
81+3/4D + 9E +F = 0
1 – 5/4D + E + F = 0
121 + 11E + F = 0
Al resolver el sistema se obtiene:
D = 16 ; E = -14 ; F = 33
Al sustituir los valores en la ecuación se obtiene:
Y2 + 16x – 14y +33 = 0
PROBLEMA 4.-
Un arco parabólico tiene 18 m. de altura y 24 m. de ancho. Si la parte superior del arco es el vértice de la parábola, ¿a qué altura sobre la base tiene la parábola un ancho de16 m.?
Solución:
Sea V = (0, 18) el vértice de la parábola con eje Y.
Luego la ecuación de la parábola es:
(x – 0)2 = 4p(y – 18)
El punto (12 , 0) se halla en la parábola y sustituyendo lascoordenadas en la ecuación, calculamos a:
122= 4p( 0 , 18 )
Entonces: p = -2
Como la parábola es simétrica, la altura buscada es la ordenada del punto ( 8 , y ) de la parábola , entonces :
82 =...