problemas de polinomios y algebra resueltos

3 POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS

PA R A

1

E M P E Z A R

Un cuadrado tiene 15 centímetros de lado.
Escribe la expresión algebraica que da el área cuando el lado aumenta x centímetros.
A ϭ (x ϩ 15)2

2

Señala cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios e indica su grado.
3x
b) ᎏᎏ
y

a) 2a2bc

d) ␲x5

c) 2xy؊3

e) 4x2 ؉ 3x

Son monomios: a), degrado 4, y d), de grado 5.

3

Realiza cuando sea posible las siguientes sumas y diferencias de monomios.
a) 2x5 ؉ 4x5

2
c) 3xy ؉ —— xy
3

a) 6x5

4

b) 3xz2 ؊ 4x2z
b) 3xz2 Ϫ 4x2z

c)

11
΂3 ϩ ᎏ2ᎏ΃ xy ϭ ᎏ3ᎏ xy
3

d) x ؉ y ؉ z
d) x ϩ y ϩ z

Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones de monomios.
3
a) 2xy ؒ ——x2y4
5

c) 20x4 : 5x3

5x2yz3
d) ——
xz2

6a) ᎏᎏ x3y5
5
5

b) 2z3t4 ؒ 3x2zt3
b) 6z4t7x2

c) 4x4Ϫ3 ϭ 4x

d) 5xyz

Resuelve la ecuación: 2x2 ؊ 7x ؊ 4 ‫0 ؍‬
72 Ϫ 4 и 2 и (Ϫ4)
7 Ϯ ͙ෆෆෆ
7Ϯ9
x ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2и2
4
7ϩ9
x1 ϭ ᎏᎏ ϭ 4
4
7Ϫ9
1
x2 ϭ ᎏᎏ ϭ Ϫᎏᎏ
4
2

Suma y producto de polinomios. identidades notables
E j e r c i c i o

r e s u e l t o

3.1 Deduce la fórmula para calcular el cubo de una suma y aplícala paracalcular (2xy + 3zt)3.
*
Se descompone el cubo:
(a ϩ b)3 ϭ (a ϩ b)2·(a ϩ b) ϭ
Se desarrolla el cuadrado de la suma:
Se opera:

ϭ a3 ϩ 3a2b ϩ 3ab2 ϩ b3

Se aplica la fórmula al ejemplo:
50

ϭ (a2 ϩ 2ab ϩ b2)(a ϩ b) ϭ
(2xy ϩ3zt)3 ϭ 8x3y3 ϩ 36x2y2zt ϩ 54xyz2t2 ϩ 27z3t3

PA R A

P R A C T I C A R

3.2 Dados los polinomios: P(x) ‫ ؍‬x2 ؊ 5x ؉ 4, Q(x) ‫3 ؍‬x2 ؉ 6x ؊ 4 y R(x) ‫2؊ ؍‬x2 ؉x ؊ 1, realiza las operaciones indicadas.
a) P(x) ؉ Q(x)

c) Q(x) ؊ P(x)

e) P(x) ؊ Q(x) ؉ R(x)

b) P(x) ؊ Q(x)

d) P(x) ؉ Q(x) ؉ R(x)

f) P(x) ؊ [Q(x) ؉ R(x)]

a) P(x) ϩ Q(x) ϭ x2 Ϫ 5x ϩ 4 ϩ 3x2 ϩ 6x Ϫ 4 ϭ 4x2 ϩ x

d) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ 2x2 ϩ 2x Ϫ 1

b) P(x) Ϫ Q(x) ϭ x2 Ϫ 5x ϩ 4 Ϫ 3x2 Ϫ 6x ϩ 4 ϭ Ϫ2x2 Ϫ 11x ϩ 8

e) P(x) ϩ Q(x) ϩ R(x) ϭ Ϫ4x2 Ϫ 10x ϩ 7

c) Q(x) Ϫ P(x) ϭ 2x2 ϩ11x Ϫ 8

f) P(x) Ϫ [Q(x) ϩ R(x)] ϭ Ϫ12x ϩ 9

3.3 Realiza las siguientes operaciones.
a) 3x3 ؒ 5x4

1
b) ؊2x3 ؒ —— x2 ؒ x
2

3
5
d) 6xy4 ؒ ——y3 ؒ ——x4
2
12

c) 7x3y4 ؒ 10xy6

a) 3x3 и 5x4 ϭ 15x7

c) 7x3y4 и 10xy6 ϭ 70x4y10

1
b) Ϫ2x3 и ᎏᎏ x2 и x ϭ Ϫx6
2

3
5
15
d) 6xy4 и ᎏᎏ y3 и ᎏᎏ y3 ϭ ᎏᎏ x5y7
2
12
4

3.4 Dados los polinomios: P(x) ‫3 ؍‬x2 ؊ x ؊ 6 y Q(x) ‫2؊؍‬x2 ؉ x ؊ 1, realiza las siguientes operaciones.
a) 2 ؒ P(x)

b) ؊3 ؒ Q(x)

3
5
d) —— P(x) ؊ —— Q(x)
4
6

c) 2 ؒ P(x) ؊ 3 ؒ Q(x)

a) 2 и P(x) ϭ 6x2 Ϫ 2x Ϫ 12

c) 2 и P(x) Ϫ 3 и Q(x) ϭ 12x2 Ϫ 5x Ϫ 9

b) Ϫ3 и Q(x) ϭ 6x2 Ϫ 3x ϩ 3

3
5
47
19
11
d) ᎏᎏ P(x) Ϫ ᎏᎏ Q(x) ϭ ᎏᎏ x2 Ϫ ᎏᎏ x Ϫ ᎏᎏ
4
6
12
12
3

3.5 Dados los polinomios: P(x) ‫4 ؍‬x2 ؊ 6x ؊ 1, Q(x) ‫2 ؍‬x2 ؉ 2x ؊ 7 y R(x)‫2 ؍‬x ؊ 5, realiza las siguientes
operaciones.
a) P(x) ؒ Q(x)

b) Q(x) ؒ P(x)

c) P(x) ؒ R(x)

d) P(x) ؒ [R(x)]2

a) P(x) и Q(x) ϭ 8x4 Ϫ 4x3 Ϫ 42x2 ϩ 40x ϩ 7

c) P(x) и R(x) ϭ 8x3 Ϫ 32x2 ϩ 28x ϩ 5

b) Q(x) и P(x) ϭ 8x4 Ϫ 4x3 Ϫ 42x2 ϩ 40x ϩ 7

d) P(x) и [R(x)]2 ϭ 16x4 Ϫ 104x3 ϩ 216x2 Ϫ 130x Ϫ 25

3.6 Dados los polinomios: P(x) ‫ ؍‬x2 ؊ x ؊ 1, Q(x) ‫2 ؍‬x2 ؉ 3x ؊ 7 y R(x) ‫2 ؍‬x2 ؊5, realiza las siguientes
operaciones.
a) [P(x) ؉ Q(x)] ؒ R(x)

c) [2P(x) ؊ Q(x)] ؒ R(x)

b) 2P(x) ؒ 5Q(x)

d) [P(x) ؊ Q(x)] ؒ R(x)

a) [P(x) ϩ Q(x)] и R(x) ϭ 6x4 ϩ 4x3 Ϫ 31x2 Ϫ 10x ϩ 40

c) [2P(x) Ϫ Q(x)] и R(x) ϭ Ϫ10x3 ϩ 10x2 ϩ 25x Ϫ 25

b) 2P(x) и 5Q(x)] ϭ 20x4 ϩ 10x3 Ϫ 120x2 ϩ 40x ϩ 70

d) [P(x) Ϫ Q(x)] и R(x) ϭ Ϫ2x4 Ϫ 8x3 ϩ 15x2 ϩ 20x Ϫ 30

3.7 Saca factor común en estasexpresiones.
a) 3x2 ؊ 4x3 ؉ 7x5

d) 12x5y3 ؊ 6xy4 ؉ 4x2y2

b) 6x4 ؊ 12x2 ؉ 3x

e) ؊30x2y ؉ 21x4 ؉ 18y

3
5
7
c) —— x2 ؊ —— x6 ؉ —— x5
4
4
4

3
3
3
f) —— x5 ؊ —— x4 ؉ —— x
4
5
2

a) 3x2 Ϫ 4x3 ϩ 7x5 ϭ x2(3 Ϫ 4x ϩ 7x3)

d) 12x5y3 Ϫ 6xy4 ϩ 4x2y2 ϭ 2xy2(6x4y Ϫ 3y2 ϩ 2x)

b) 6x4 Ϫ 12x2 ϩ 3x ϭ 3x(2x3 Ϫ 4x ϩ 1)

e) Ϫ30x2y ϩ 21x4 ϩ 18y ϭ 3(Ϫ10x2y ϩ 7x4 ϩ 6y)

3
5
7
1...