PROBLEMAS DE RENTAS Enunciados Y Respuestas

= PROBLEMAS DE RENTAS =
1.- Determinar el valor actual de una renta de 15 términos anuales de 2.500 u.m. cada uno de ellos, al 4,8% de interés efectivo anual.
Se trata de una renta constante (a = 2.500), temporal (n = 15) y, a falta de más datos, postpagable e inmediata. Por tanto
Vo = a ani = 2.500 × 1-1,048-150,048 = 26.303,53.
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2.- Determinar el valor final de la renta delejercicio núm.1 anterior.
Vn= (1 + i)n Vo = 1,04815 × 26.303,53 = 53.141,43.
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3.- Deseamos lograr un capital de 100.000 u.m. mediante imposiciones anuales de 10.000. Si se retribuyen al 4% efectivo anual, ¿cuántas imposiciones habrá que hacer?
Vn= 100.000 → 100.000 = 10.000 sn0,04 → sn0,04= 100.00010.000 = 10
Es decir
1,04n- 10,04 = 10 → n = ln (0,04 × 10 + 1)ln1,04 = 8,57.
--&--4.- Hallar el valor actual de una renta bianual de 5 términos de 3.000 u.m., al 6% efectivo anual.
Si T = 2 × 12 = 24 → k = 1224 = ½. Luego a12 = 3.000 u.m.La renta no está homogeneizada, es decir, es fraccionada. En efecto, el término va referido a bienios y el tipo de interés a años. Hay dos formas de homogeneizarla:
Tomando i12 a partir de i = 0,06 → i12 = (1 + i)2 – 1 = 1,062 – 1 =0,1236. Por tanto, será Vo = 3.000 × a50,1236 = 3.000 × 1-1,1236-50,1236 = 10.718,57
Tomando i = 0,06 y hallando el término anual a equivalente al bianual a12 = 3.000. En este sentido, a es tal que el valor final de una renta de dos años de término a sea a12.
0 1 2

a a a12Esdecir,
a12 = a a20,06 = 2,06 a → a = a122,06 = 3.0002,06 = 1.456,31
Luego se trata de una renta anual de término a = 1.456,31, a n = 2 × 5 = 10 años. Su valor actual será, así,
V0 = 1.456,31 × a100,06 = 1.456,31 × 1- 1,06-100,06 = 10.718,57
Así pues,
Vo = 10.718,57.
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5.- Hallar la anualidad de una renta inmediata de 15 términos postpagables cuyo valor actual es 25.312 u.m., al 4%.Vo = a a150,04 → a = Voa150,04 = 25.312(1- 1,04-150,04) = 25.312 × 0, 041- 1,04-15 = 2.276,59.
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6.- En una renta constante, prepagable y de duración 5 años, la proporción entre el valor final y el valor inicial de la misma es de 3 a 1. ¿A qué tipo de interés efectivo anual ha sido valorada?
Sabemos que Vn = (1 + i)n V0 → (1 + i)5 = VnVo = 3
Es decir
i = 53 - 1 = 0,2457.--&--
7.- El Sr. X alquila una vivienda por meses anticipados, pagaderos el día 1 de cada mes. El contrato dura 3 años. Los términos de la renta varían en progresión aritmética de diferencia d = 5 €, siendo la primera mensualidad a12 = 800 €. Cuando finalice el contrato tiene pensado renovar su vehículo, que a fecha de hoy vale 38.000 €. Estima que el precio del mismo subirá, en los próximos 3 años,un 0,2% cada año. ¿Podrá adquirirlo? Se sabe, a ese efecto, que las mensualidades las impone en una cuenta remunerada al 3% efectivo anual. Razonar en términos anuales.
Podrá adquirir el vehículo si el valor final de la renta es Vn ≥ 38.000 × 1,0023 = 38.228,46 €. Para el cálculo de Vn podríamos usar los términos mensuales y el tipo i12 = 1,03112- 1= 0,002466269772304.
En tal caso sería
Vn =[(800 + 50,002466…) 1,00246636- 10,002466 – 36 × 50,002466] × 1,002466 = 33.400,50 € < 38.000.
Pero el enunciado nos lo prohíbe. Por ello, debemos trabajar con términos anuales equivalentes a los mensuales.
Las 12 cuotas del primer año forman una progresión aritmética con d = 5 y a121 = 800. Luego su valor final es, al ser la renta prepagable,
Vn = [(a121 + di12) s12i12 – 12 di12] (1 + i12)Pero
s12i12 = (1 + i12)12- 1i12 = ii12Luego
Vn = [(a121 + di12) ii12– 12 di12] (1 + i12) = [(a121 + di12) i – 12 d] 1+ i12i12Es decir,
a1 = [(a121 + di12) i – 12 d] 1+ i12i12 = [(800 + 50,002466) × 0,03 – 12 × 5] × 1,0024660,002466 = 10.088,84
Por su parte, el segundo término anual es:
a2 = [(a1213 + di12) i – 12 d] 1+ i12i12 → a2 – a1 = 1+ i12i12 (a1213 – a121) i = 1+ i12i12...