Problemas de teorías de colas

PROBLEMAS  RESUELTOS  DE  TEORÍA  DE  COLAS.
(M/M/1:  Un  servidor  con  llegadas  de  Poisson  y   empos  de  servicio  
Exponenciales)
Alberto Carlo Lavezzaro Cano
Cuenta 1405513

Prof.:  MSc.  Julio  Rito  Vargas  A.
I.

Suponga  que  en  una  estación  con  un  solo  servidor  llegan  en  promedio  45  clientes  por  
hora,  Se   ene  capacidad  para  atender  en  promedio  a  60 clientes  por  hora.  Se  sabe  que  
los  clientes  esperan  en  promedio  3  minutos  en  la  cola.
Se   solicita:   a)   Tiempo   promedio   que   un   cliente   pasa   en   el   sistema.   b)   Número  
promedio  de  clientes  en  la  cola.  c)  Número  promedio  de  clientes  en  el  Sistema  en  un  
momento  dado.
 
Solución:  Se  conoce  la  siguiente  información:
λ=    45 clientes/hora  (media  de  llegada  de  los  clientes)=  45/60  clientes/minutos
µ=    60  clientes/hora  (media  de  servicio  a  los  clientes)  =  60/60    clientes/minutos=
Wq  =  3  minutos  ( empo  promedio  de  espera  de  un  cliente  en  la  cola)

a) Para   calcular   el   empo   promedio   que   un   cliente   pasa   en   el   Sistema   (Ws).   Lo  
podemos  calcular  a  par r  de  Wq  y µ.  
𝟏

𝟏

𝑾 𝒔 = 𝑾 𝒒 +   𝝁=  3  minutos  +     𝟏 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟒  𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
Es  decir  en  promedio  un  cliente  pasa  4  minutos  en  el  Sistema:  distribuidos  así  3  
minutos  pasa  esperando  en  la  cola  +  1  minutos  en  servicio.  
b) Para  calcular  el  número  de  clientes  en  la  cola  (Lq),  usaremos  la  fórmula  siguiente:
Lq=  λ  Wq.
     𝐿 = 𝜆 ∗ 𝑊 =0.75

*  3  minutos  = 2.25  clientes.

Es  decir  los  cálculos  nos  muestran  que  en  la  cola  puede  haber  más  de  dos  clientes  
en  la  cola.
c) Para  calcular  cual  es  el  número  de  clientes  en  la  cola  (Ls).  Lo  podemos  hacer  con  la  
fórmula:  Ls=  λ  Ws.
𝐿 =  𝜆 ∗ 𝑊 = 0.75

𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
∗ 4  𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 3  𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Es  decir  en  promedio  hay  tres  clientes  en  el  sistema, como  se  nos  ha  dicho  que  
solo  hay  un  servidor,  sabemos  que  solo  un  cliente  puede  estar  en  servicio,  por  lo  
que  los  demás  deben  estar  en  la  cola.  Esto  indica  que  hay  dos  clientes  en  espera.

II.

Suponga   un   restaurante   de   comidas   rápidas   al   cual   llegan   en   promedio   100   clientes  
por  hora.  Se   ene  capacidad  para  atender  en promedio  a  150  clientes  por  hora  Se  sabe  
que   los   clientes   esperan   en   promedio   2   minutos   en   la   cola   Calcule   las   medidas   de  
desempeño  del  sistema
a) ¿Cuál  es  la  probabilidad  que  el  sistema  este  ocioso?
b) ¿Cuál  es  la  probabilidad  que  un  cliente  llegue  y  tenga  que  esperar,  porque  el  
sistema  está  ocupado?
c) ¿Cuál  es  el  número promedio  de  clientes  en  la  cola?
d) ¿Cuál  es  la  probabilidad  que  hayan  10  clientes  en  la  cola?
Solución:  Se  conoce  la  siguiente  información:
λ=    100  clientes/hora  (media  de  llegada  de  los  clientes)=  100/60  clientes/minutos
µ=    150  clientes/hora  (media  de  servicio  a  los  clientes)  =  150/60    clientes/minutos=
Wq  =  2  minutos  ( empo  promedio  de espera  de  un  cliente  en  la  cola)
a) Para   conocer   cuál   es   la   probabilidad   de   que   el   sistema   este   ocioso,   primero  
conoceremos,  cual  es  la  probabilidad  que  esté  ocupado  o  factor  de  u lización  del  
sistema.
𝜌= =

 
 

/
/

=  0.66 = 66.7%      este  porcentaje  representa   empo  

que  el  sistema  está  ocupado.  Es  decir  (1-­‐  ρ) representa  el   empo  ocioso  del  
sistema,  es  decir  1-­‐  0.667=  0.333  =  33.3%  el  sistema  permanece  ocioso.
b)  La  probabilidad  que  un  cliente  llegue  y  tenga  que  esperar  es  suponer  que  estará  
como  primer  cliente  en  la  cola.  Usaremos  la  fórmula:
𝑃 = 1−

     Para  nuestro  caso  n=1  y  la  formula  se  convierte  en:

𝑃 = 1−

= (1 −

)

= (1 −...