Problemas de Teoria de Colas

Problemas de Teoría de Colas
1.- Sea la cola G/M ()/1 y sea aj=E {( X)j e-x}/j!; siendo X la variable tiempo entre las llegadas. Suponer ρ < 1.
Demostrar que la distribución estacionaria de la cadena que denota la longitud de la cola en los momentos de las llegadas satisface pn = ai p n+i-1 n > 0.
Buscar una solución de la forma pn = θn y deducir que la única distribuciónestacionaria está dada por pj = (1-ε) εj con ε la raíz positiva más pequeña de la ecuación s = LX ( (s-1)) con LX la transformada de Laplace de la variable X.

2.- Considerar un sistema M/M/1 con la particularidad de que se añade un servidor cuando la longitud de la cola excede de N.
Modelar el sistema y calcular la distribución y la longitud de la cola en el equilibrio.
Suponer que la espera deun cliente cuesta c pesetas y el servidor adicional d pesetas. ¿En qué condiciones será rentable este sistema?

3.- Una cola M/M/1 con control: Se pretende que el servidor esté ocupado todo el tiempo y la política es la siguiente. Cuando no hay clientes, la ventanilla se cierra y en el momento que llega el primer cliente, el sistema tarda un tiempo exp () en ponerse en marcha.
Modelar elsistema y
Calcular la función generatriz de la distribución en el equilibrio cuando exista.

4.- Considerar la cola M/M/1 con ρ < 1. Sea Q la longitud de la cola en el equilibrio.
Demostrar que (1-ρ)Q converge en distribución hacia una ley exponencial de parámetro 1 cuando ρ tiende a 1.

5.- Considerar la cola M/M/1 en la que cada llegada produce 2 clientes. El tiempo entre dos llegadasconsecutivas es una ley exp (λ) ,los clientes son servidos de dos en dos y el tiempo de servicio es una ley exp (m) .
Modelar el sistema.
Plantear los sistemas de ecuaciones prospectivas y retrospectivas.
Plantear las ecuaciones en el equilibrio y resolverlas cuando exista solución.
En el equilibrio calcular la distribución de las salidas de este sistema.

6.- Sean dos sistemas M/M/1 con lamisma intensidad de tráfico, pero con distribución de entradas y salidas distintas λ `= k λ m ´= k m
Comparar en el equilibrio, la longitud media de la cola, el tiempo medio de permanencia en el sistema, el tiempo medio de permanencia esperando en el sistema y el tiempo de ocupación del servidor. Comentar los resultados obtenidos.

7.- Un sistema está formado por N componentes, cadacomponente independientemente de las otras se avería según una ley exponencial de parámetro λ; cuando se avería se la repara independientemente de las demás por un solo operario de forma que el tiempo de reparación sigue una ley exponencial de parámetrom. Sea X(t) el número de componentes del sistema en reparación en el instante t.
Modelar el proceso
Calcular la distribución de X(t) en elequilibrio.
Calcular el tiempo medio que una componente averiada pasa en el taller de reparación.
Sea X(0) = 0 y sea T = inf {t/X(t)=2\} . Calcular la distribución de T.
8.- Un modelo de cola geométrica: Los clientes llegan a un determinado sistema requiriendo un servicio de forma que los tiempos entre dos llegadas consecutivas son independientes y siguen una ley geométrica de parámetro  P(T = n)= a (1-a)n-1 n = 1, 2,.... Los clientes son servidos por un solo servidor según el orden de llegada. El tiempo de servicio es una variable geométrica de parámetro β P(S = n)= β (1- β)n-1 n=1,2,... . Los tiempos de servicio son independientes de las llegadas y de la longitud de la cola.
Demostrar que Xn es una cadena de Markov y calcular su matriz de transición
Calcular en el equilibrio ladistribución de la longitud de la cola.
Considerando el sistema en el equilibrio, calcular el tiempo medio de permanencia en el sistema.
¿Se verifica la formula de Little?

9.- Sistema M/Ek/1: Considerar este sistema en el que el tiempo de servicio sigue una distribución de Erlang con función de densidad f(y) = (1\ (k-1) !) ( km) k -1e-kmy
Modelar el sistema como markoviano,...