Problemas Derivada Direccional Y Gradiente

Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y en direcciones paralelas al vector dadoa) f(x y) xy, (x0 y0) (e e), d 5i 12j b) f(x y) exy yz, (x0 y0 z0) (1 1 1), d (1 -1 1) Solucin a) Recordando que Duf(x0) (f(x0)u, debemos hallar el gradiente de la funcin y un vector unitarioen la direccin dada. EMBED Equation.3 b) En este caso tendremos EMBED Equation.3 Suponer que una montaa tiene forma de un paraboloide elptico z c - ax2 - by2 , donde a, b y c son constantespositivas, x y y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar (x, y y z estn medidas en metros). En el punto (11), en qu direccin aumenta ms rpido la altitud Si sesuelta una canica en (1 1), en qu direccin comenzar a rodar Solucin Una funcin aumenta ms rpidamente en la direccin del vector gradiente, y disminuye ms rpidamente en la direccin opuesta al mismo. Ennuestro caso EMBED Equation.3 sa es la direccin de mximo crecimiento. La canica rodar en la direccin en la cual ms rpidamente disminuya la altura, es decir, la opuesta a la recin hallada MximodecrecimientoEMBED Equation.3 El capitn Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando l est en la posicin (x y z), viene dada por EMBED Equation.3,donde x, y y z vienen dados en metros. Actualmente est en el punto (1 1 1). a) En qu direccin deber avanzar para disminuir ms rpidamente la temperatura b) Si la nave viaja a e8 m/s, con qu rapidezdecrecer la temperatura si avanza en esa direccin c) Desafortunadamente el metal del casco se cuartear si se enfra a una tasa mayor que EMBED Equation.3 grados por segundo. Describir el conjunto dedirecciones posibles en que puede avanzar para bajar la temperatura a una tasa no mayor que sa. Solucin a) La direccin de mximo decrecimiento u ser la direccin unitaria opuesta al vector gradiente. EMBED...