Problemas EDOS

TEMA 1
´
`
INTRODUCCIO A LES EQUACIONS DIFERENCIALS ORDINARIES
1. Demostreu que cada funci´ ´s una soluci´ expl´
oe
o
ıcita de l’equaci´ diferencial correso
ponent:
d2 y
dy
a) y(x) = ex + 2x2 + 6x + 7
− 3 + 2y = 4x2
2
dx
dx
1
d2 y
dy
b) y(x) =
(1 + x2 ) 2 + 4x + 2y = 0
2
1+x
dx
dx
2. Demostreu que la funci´ y(x) = c1 e4x + c2 e−4x no ´s soluci´ de:
o
e
o
d2 y
dy
− 2− 8y = 0
dx2
dx
3. Demostreu que y(x) = c1 e2x + c2 xe2x + c3 e−2x ´s soluci´ de:
e
o
d3 y
d2 y
dy
− 2 2 − 4 + 8y = 0
dx3
dx
dx
4. Demostreu que y(x) = (2x2 + 2e3x + 3) e−2x satisf` l’equaci´ diferencial i la condici´
a
o
o
inicial seg¨ent:
u
dy
+ 2y = 6ex + 4xe−2x i y(0) = 5
dx
5. Demostreu que y(x) = 3e2x − 2xe2x − cos 2x satisf` l’equaci´ diferencial:
a
o
dy
d2 y
− 4+ 4y = −8 sin 2x
2
dx
dx
6. Demostreu que y(x) = 4e2x + 2e−3x ´s una soluci´ de y ′′ + y ′ − 6y = 0 amb les
e
o
condicions inicials: y(0) = 6; y ′ (0) = 2.
o
o
7. Si cada soluci´ de l’equaci´ y ′ + y = 2xe−x la podem escriure de la forma
y = (x2 + c)e−x , resoleu els problemes de condicions inicials seg¨ents:
u
(a) y(0) = 2
(b) y(−1) = e + 3

8. Trobeu la soluci´ general de lesequacions diferencials de variables separables:
o
(a) (1 + y 2 ) dx + (1 + x2 ) dy = 0
(b) (1 + y 2 ) dx + xy dy = 0
(c) (1 + y 2 ) dx = x dy
(d) y ln y dx + x dy = 0
dy
(e)
= ax+y on a > 0, a ̸= 1
dx
2
(f) xydx + e−x (y 2 − 1) dy = 0
o
9. Trobeu la soluci´ general de les equacions diferencials lineals:
(a) y ′ + 2xy = 2xe−x

2

(b) y ′ + 2y = x2 + 2x
(c) 2xy ′ − y = 3x2
(d) xy′ + 2y = x2
(e) y ′ cos x = y sin x + sin 2x, −
(f) (1 + x)

π
π
0
dx

u
10. Resoleu els seg¨ents problemes de valor inicial:
dy
= y 2 + 1, y(1) = 0
dx
dy
1+x
=
, x > 0; y(1) = −4
(b)
dx
xy
dx
(c) xe−t
= t, x(0) = 1
dt
√
dy
(d) x + 2y x2 + 1
= 0, y(0) = 1
dx
du
2t + sec2 t
(e)
=
, u(0) = −5
dt
2u
dy
(f)
= tey , y(1) = 0
dt
(g) y ′ + y = x + ex , y(0) = 0
dy+ 2y = t3 , t > 0, y(1) = 0
(h) t
dt
dv
2
(i)
− 2tv = 3t2 et , v(0) = 5
dt
√
(j) (1 + x2 ) y ′ + 2xy = 3 x, y(0) = 2
dy
+ 2xy = cos x, y(π) = 0
(k) x2
dx
(a)

(l) x

y
dy
−
= x,
dx x + 1

y(1) = 0,

x>0

11. Per via intravenosa s’administra una soluci´ de glucosa al corrent sanguini, a tassa
o
constant r. A mesura que s’agrega la glucosa, es converteix en altressubst`ncies
a
i s’elimina del corrent sanguini a una ra´ proporcional a la concentraci´ en aquest
o
o
instant. Per tant, un model per la concentraci´ C = C(t) de la soluci´ de la glucosa
o
o
en el corrent sanguini ´s
e
dC
= r − kC
dt
on k ´s una constant positiva.
e
(a) Suposa que la concentraci´ a l’instant t = 0 ´s C0 . Determina la concentraci´
o
e
o
en qualsevol instant tresolent l’equaci´ diferencial.
o
(b) Si se suposa que C0 < r/k, troba lim C(t) i interpreta la teva resposta.
t→∞

12. Un tanc cont´ 1000 L de salmorra amb 15 kg de sal dissolta i hi entra aigua pura
e
a ra´ de 10 L/min. La soluci´ es mant´ completament mesclada i es drena amb la
o
o
e
mateixa rapidesa. Quanta sal hi ha al tanc
(a) despr´s de t minuts?
e
(b) despr´s de 20 minuts?
e13. Un tanc de 1000 L d’aigua pura i hi entra salmorra amb 0.05 kg de sal per litre
d’aigua a ra´ de 5 L/min, aix´ com una altra salmora amb 0.04 kg de sal per litre
o
ı
d’aigua a ra´ de 10 L/min. La soluci´ es mant´ mesclada perfectament i es drena
o
o
e
del tanc amb una rapidesa de 15 L/min. Quanta sal hi ha al tanc
(a) despr´s de t minuts?
e
e
(b) despr´s d’una hora?
14. Una poblaci´de protozoaris es desenvolupa amb una tassa relativa constant de
o
creixement de 0.7944 per membre per dia. Al dia zero, la poblaci´ consta de dos
o
membres. Troba el tamany de la poblaci´ despr´s de sis dies.
o
e
15. Un cultiu de bacteris s’inicia amb 500 i creix amb una rapidesa proporcional a la
seva grand`ria. Despr´s de 3 hores, hi ha 8.000 bacteris.
a
e
(a) Troba una...