Problemas Ejem2

Ecuaciones

Problemas

Ejercicios resueltos

1. En el siguiente dibujo todos los autos son iguales:

Determinar el largo de cada auto.
Soluci´
on: Sea x el largo de cada auto.
De acuerdo a la figura, la ecuaci´on que modela este problema es:
3x + 4 = 2x + 7
Resolviendo esta ecuaci´on se obtiene que x = 3.
Respuesta: Cada auto mide 3 metros.

2. Un farmac´eutico debe preparar 15ml de gotasespeciales para un paciente con glaucoma. La soluci´on debe tener 2% de ingrediente activo, pero s´olo tiene disponibles
soluciones al 10% y al 1%. ¿Qu´e cantidad de cada soluci´on debe usar para completar la receta?
8

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Ejemplos resueltos

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Soluci´
on: Sea x = cantidad de ml de la soluci´on al 10%
Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.Cantidad de ml en cada caso
Cantidad de ingrediente activo en cada caso

A
x

B
15 − x

C
15

0.1x

0.01(15 − x)

0.02 · 15

Luego, la ecuaci´on que modela este problema es:
0.1x + 0.01(15 − x) = 0.02 · 15
Resolviendo esta ecuaci´on (lineal) se obtiene que x =

5
3

≈ 1.7.

Respuesta: Se deben usar 1.7ml de la soluci´on al 10% y 8.3ml de la soluci´on al
1%, para obtener 15ml al 2%.

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Ejemplos resueltos

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3. Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10
Km/h. Cinco minutos despu´es, un segundo corredor comienza en el mismo punto,
y su velocidad es de 13 Km/h, siguiendo por la misma pista. ¿Cu´anto tiempo
tardar´a el segundo corredor en alcanzar al primero?
Soluci´
on: Sea t eln´
umero de horas que recorre el primer corredor. Como el
1
segundo corredor sale 5 minutos ( 12
horas) despu´es que el primero, el tiempo que
1
recorre el segundo es (t − 12 ) horas. Esto conduce a la siguiente tabla.
Velocidad Tiempo
Corredores
Km/h
Horas
Primero
Segundo

10
13

t
1
t − 12

distancia
Km.
10t
1
13(t − 12
)

Luego, como en el momento en que el segundo corredor alcanza al primero,ambos
han recorrido la misma distancia, la ecuaci´on que modela este problema es:
10t = 13(t −

1
)
12

Resolviendo esta ecuaci´on (lineal) se obtiene que t =

13
36

≈ 0.36horas = 21.6min.

Respuesta: El segundo corredor alcanza al primero en 21.6min, aproximadamente.

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Ejemplos resueltos

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4. Una empresa fabrica unproducto que tiene costos variables de $6 por unidad y
costos fijos de $80. Cada unidad tiene un precio de venta de $10. Determinar el
n´
umero de unidades que deben vender para que la compa˜
n´ıa obtenga utilidades de
$60 y calcular el margen por unidad.
Soluci´
on: Se tiene que
Utilidades = Ingresos totales − Costos totales
Ingresos totales = Cantidad vendida × precio de venta
Costos totales =Costos variables + Costos fijos
Sea q = n´
umero de unidades que deben ser vendidas.
Luego el modelo para el problema es:
10q − (6q + 80) = 60
Resolviendo esta ecuaci´on lineal se tiene que:
10q − (6q + 80)
4q − 80
4q
de donde se obtiene q

=
=
=
=

60
60
140
35

Respuesta: Es necesario vender 35 unidades para obtener utilidades de $60.

5. Un grupo de j´ovenes decide pagar por partes iguales elarriendo de $14.000 de un
bote. A u
´ltima hora, tres de los j´ovenes se arrepintieron, con lo cual la cuota de
cada uno de los restantes j´ovenes subi´o en $1.500.
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Ejemplos resueltos

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(a) ¿Cu´antos j´ovenes hab´ıa en el grupo original?
(b) ¿Cu´anto pag´o cada uno de los j´ovenes del grupo final?
Soluci´
on: Sea n eln´
umero inicial de j´ovenes. Ordenemos la informaci´on del
problema en la siguiente tabla.
N´
umero de j´ovenes Valor cuota de c/u
Situaci´on inicial

n

14000
n

Situaci´on posterior

n−3

14000
n−3

Como la cuota inicial sube en $1500, se tiene que la ecuaci´on que modela este
problema es:
14000 14000
=
+ 1500
n−3
n
Desarrollando esta ecuaci´on se obtiene que ella se reduce a:
n2 − 3n − 28 =...