Problemas elipticos

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE PROBLEMAS ELÍPTICOS Y CONDICIONES DE FRONTERA

1.- Derive la ecuación aproximada para la segunda derivada de f''(x)
f''x=1h2fx+h-2fx+f(x-h)

Para h y –h tenemos que:
fx+h≅fx+f'xh+f''(x)h22!
Y
fx-h≅fx-f'xh+f''(x)h22!

Luego de ahí obtenemos:

f''(x)≅2fx+h-fx-f'xhh2 (I)

y

f''(x)≅2fx-h-fx+f'xhh2 (II)

Luego tenemos que:

(I) + (II)=2fx+f''xh2
Se obtienefinalmente que:
f''x=-2fx+fx+h+f(x-h)h2

Y
2.-
U44
U43
U42

U34
U33
U32

U24
U23
U22

x

PDE: Uxx+Uyy=0
BD: U=0 arriba y a los lados
Ux,0=Sen πx 0≤x≤1

Iteración de liebman
Ui+1, j+Ui-1, j+Ui,j+1+Ui,j-1-4Ui,j=0

Por lo que sustituyendo con las condiciones de frontera establecidas tenemos:

-4U22+U32+Senπ4+U23+0=0
-4U23+U33+Senπ2+U24+U22=0-4U24+U34+Sen3π4+0+U23=0
-4U32+U42+U22+U33+0=0
-4U33+U43+U23+U34+U32=0
-4U34+U44+U24+0+U33=0
-4U42+0+U32+U43+0=0
-4U43+0+U33+U44+U42=0
-4U44+0+U34+0+U43=0

Ordenando las ecuaciones en forma de matriz tenemos:
U22 | U23 | U24 | U32 | U33 | U34 | U42 | U43 | U44 | | |
-4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | U22 | -0.707 |
1 | -4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | U23 | -1 |
0 | 1 | -4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0| 0 | U24 | -0.707 |
1 | 0 | 0 | -4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | U32 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 | -4 | 1 | 0 | 1 | 0 | U33 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | -4 | 0 | 0 | 1 | U34 | 0 |
0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | -4 | 1 | 0 | U42 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | -4 | 1 | U43 | 0 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | -4 | U44 | 0 |

U22=0.3318 |
U23=0.4693 |
U24=0.3318 |
U32=0.1509 |
U33=0.2134 |U34=0.1509 |
U42=0.0583 |
U43=0.0825 |
U44=0.0583 |

Como:
Ui,j= Ui+1,j+Ui-1,j+Ui,j+1+Ui,j-14

U22= U32+U12+U23+U214

U22=0.1509+Senπ4+0.4693+04=0.3318

Como el termino sustituye en Ui,j tiende a 0 el método es convergente
ξ=0.707+1+0.707+04=0.151
0
0
0


0

0

0

0

0.151

0.151

0
0
0.151

0.707
1
0.707

U22= 0+ξ+ξ+0.7074=0+0.151+0.151+0.7074=0.252
U23=U22+1+ξ+ξ4=0.252+1+0.151+0.1514=0.390

U24= U23+0.707+ξ+04=0.390+0.707+0.151+04=0.312
U32=0.252+0.151+0+0.1514=0.139
U33=0.139+0.390+0.151+0.1514=0.208
U34=0.208+0.312+0+0.1514=0.168
U42=0.139+0+0+0.1514=0.073
U43=0.073+0.208+0+0.1514=0.108
U44=0.108+0.168+0+04=0.069
0
0
0

0
0.108
0.069
0.073

0
0
0.208
0.168
0.139

0
0.390
0.312

0
0
0.252

1
0.707
0.707U22=0+0.707+0.139+0.3904=0.309
U23=0.309+0.208+0.312+14=0.457
U24=0.457+0.168+0.707+04=0.333
U32=0.309+0.208+0.073+04=0.148
U33=0.148+0.457+0.108+0.1684=0.220
U34=0.148+0.333+0.069+04=0.138
U42=0.148+0.108+0+04=0.064
U43=0.064+0.069+0.220+04=0.088
U44=0.088+0.138+0+04=0.057
3.- ¿Qué ecuación algebraica debería ser resuelta cuando se usan diferenciales finitas en aproximación para resolver lasiguiente ecuación de poisson dentro del cuadrado?

PDE: Uxx+Uyy=fx,y 0≤x≤1 0<y<1
BD: U(x,y)= gx,y → en la frontera

Uxxx,y=1h2Ui,j+1-2Ui,j+Ui,j-1

Uyyx,y=1h2Ui+1,j-2Ui,j+Ui-1,j

Si
U(x,y)= gx,y

Tenemos que:
gxxx,y=gi,j+1-2gi,j+gi,j-1h2

Y

gyyx,y=gi+1,j-2gi,j+gi-1,jk2

Como:
gxx+gyy=fx,y
Sustituyo y obtenemos:fx,y=gi,j+1-2gi,j+gi,j-1k2+gi+1,j-2gi,j+gi-1,jk2

fx,y=gi,j+1+gi,j-1+gi+1,j+gi-1,j-4gi,jk2
gi,j=gi,j+1+gi,j-1+gi+1,j+gi-1,j-k34

5.- ¿Cómo resolverías el problema de Newman dentro del cuadrado?
PDE: Uxx+Uyy=0 0<x<1 0<y<1

BC U=0
∂U∂X1,y=1 0≤y≤1 arriba, centro y a la izquierda del cuadrado
U=0
y
Haciendo un esquema del enunciado tenemos que:∂U∂X1,y=1=Uxx,y=1
U=0

x

De igual forma tenemos que:
Uxx,y=12h(Ui,j+1-Ui,j-1)

Ux1,y=12hUi,j+1-Ui,j-1=1

Por consiguiente:
Si j=1 y x=1 se tiene:
12hUi,2-Ui.0=1

De allí obtenemos que:
h=Ui,2-Ui.02
Como:
Uxx+Uyy=0
Sustituyo en
PDE
y
Uxx=Ui,j+1-2Ui,j+Ui,j-1h2
y
Uyy=Ui+1,j-2Ui,j+Ui-1,jk2

Ui,j+1-2Ui,j+Ui,j-1h2+Ui+1,j-2Ui,j+Ui-1,jk2=0

Queremos conocer el valor Ui,j...