Problemas en el plano

Problemas en el plano: Proyecciones y simetrías

1.- Proyección ortogonal de un punto sobre una recta.
Para calcular la proyección de un punto P(p.x, p.y) sobre una r ≡ Ax+By+C=0, basta con trazar la perpendicular a r por el punto P. La proyección Q se obtiene como intersección de ambas rectas. Para calcular sus coordenadas resolvemos el sistema de ecuaciones determinado por las ecuacionesde ambas rectas. A este punto Q también se conoce como el pie de la perpendicular trazada a r por el punto P.
Veámoslo con un ejemplo sobre el gráfico:
Ejemplo 1.-
Calcula la proyección del punto P(4,5) sobre la recta r ≡ 2x+3y-8=0.
Pasos a seguir:
1.- Calcula la perpendicular a r por el punto P.
2.- Halla el punto Q intersección de ambas rectas. Para ello resolvemos el sistema planteado porambas ecuaciones.
 
Si atendemos a la escena podemos observar que podemos cambiar la ecuación de la recta r ≡ Ax+By+C=0. y el punto P(p.x,p.y) modificando los valores de A, B, C, p.x y p.y , o bien moviendo el punto P directamente.
 
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Ejercicio 1.-
a) Calcula la proyección del punto P(1,2) sobre la recta r ≡ 2x-5y-14=0.
b)Calcula las proyecciones del punto P(4,5) sobre los ejes coordenados (Eje OX≡ y=0 --> A=0, B=1 y C=0. Eje OY ≡ x=0 --> A=1, B=0 y C=0). ¿Cómo varían las coordenadas del punto respecto de cada una de sus proyecciones sobre los ejes coordenados?.
c) Calcula la proyección del origen de coordenadas respecto de la recta y=5. (A=0, B=1 y C=-5)
 
 

2.- Simétrico de un punto respecto de una recta.Para calcular el simétrico P ' de un punto P(p.x, p.y) respecto de una recta r ≡ Ax+By+C=0, basta con tener en cuenta que el punto Q proyección de P sobre r, es el punto medio del segmento P P' . Según esto, lo primero que tendremos que hacer es calcular el punto Q como la proyección de P sobre r, y posteriormente calcular P ' utilizando la siguiente expresión:
Veámoslo con un ejemplo sobre elgráfico.
Ejemplo 2.-
Calcula el simétrico del punto P(4,5) respecto de la recta r ≡ 2x+3y-8=0.
Pasos a seguir:
1.- Calcula la perpendicular a r por el punto P.
2.- Halla el punto Q intersección de ambas rectas.
3.- Cálculo de P ' .
utilizando la expresión anterior P '(2·q.x-p.x,2·q.y-p.y)=(2·1'69-4,2·1,53-5)=(-0'61,-1,93).
Si atendemos al gráfico podemos observar que podemos cambiar laecuación de la recta r ≡ Ax+By+C=0. y del punto P(p.x,p.y) dándoles valores a A, B, C y a p.x y p.y respectivamente. O bien moviendo el punto P directamente.
 
Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.
Ejercicio 2.-
a) Calcula el simétrico del punto P(1,2) respecto de la recta r ≡ 2x-5y-14=0.
b) Calcula el simétrico del punto P(8,5) respecto de los ejes coordenados(x=0 e y=0). ¿Cómo varian las coordenadas del punto respecto de cada una de sus simétricos anteriores?.
c) Calcula el simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta y-5=0.
d) ¿Sabrías calcular mentalmente cuales son las coordenadas del simétrico del origen de coordenadas respecto de la recta x=5?.
e) ¿Cuál sería el simétrico de un punto que estuviese contenido en la recta?. Compruébalocalculando el simétrico del punto P(1,1) respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante (x-y=0).
 
 

 
3.- Recta simétrica respecto de otra recta r(eje de simetría).
Para calcular la ecuación de la recta simétrica de una recta s≡ A'x+B'y+C'=0 respecto de otra recta r ≡ Ax+By+C=0, que nos sirve de eje de simetría, bastará con tomar 2 puntos cualesquiera de la recta s y, aprovechandola construcción del apartado anterior, calcular el simétrico de estos dos puntos y posteriormente, la ecuación de la recta que pasa por ellos.
Veámoslo con en el siguiente ejemplo sobre el gráfico.
Ejemplo 3.-
Determina la ecuacion de la recta simétrica de s≡-7x+8y-49=0 respecto de la rectarecta r ≡ 2x+3y-8=0.
Pasos a seguir:
1.- Tomamos 2 puntos cualesquiera de la recta s, por ejemplo,...