Problemas Estadisticios En El Ejercito

1

Se quiere estimar el n mero de fbricas capaces de producir aru
a
mas bacteriolgicas en un determinado pa de 36.000 Km cuao
s
drados de extensin. Para ello se envi un avin espa U2 sobre
o
o
o

el mencionado pas enemigo que realiz 250 fotografas areas co
o

e
rrespondientes a 250 parcelas elegidas al azar, cada una de ellas de
dimensin 30 Km cuadrados,detectndose una planta qumica eno
a

tre las fotografas realizadas por el mencionado avin espa. >Qu

o

e
estimacin dara para el nmero de plantas qumicas del pas?
o

u


El problema puede formularse de varias maneras seg n la modelizacin
u
o
que se haga del mismo. Parece razonable dividir el pas en parcelas del

tama~ o tomado por las fotograf es decir, en 1200parcelas, cada una de
n
as;
dimensin 30 Km cuadrados. Estamos, en ese caso, ante una poblacin de
o
o
tama~ o 1200 de la que tomamos una muestra aleatoria de tama~ o n = 250.
n
n
Sin utilizar las herramientas suministradas por la Teor de Muestras
a
para Poblaciones Finitas, la cual permite obtener conclusiones para muestras tomadas sin reemplazamiento, admitiremos aqu que las 250parcelas

fotograadas por el avin esp fueron elegidas al azar con reemplazamiento
o
a
no resultando elegida ninguna de ellas en ms de una ocasin.
a
o
Supondremos adems que el pa enemigo en cuestin reparti las plantas
a
s
o
o
qu
micas por su territorio al azar conando que la aleatoriedad no diera pistas a los servicios secretos enemigos y que, en cada parcela de 30 Kmcuadrados, o bien hay una planta o bien no hay ninguna planta qu
mica. En estas
condiciones, el n mero de plantas qu
u
micas del pa es una variable aleatoria
s
que sigue una distribucin binomial B (1200; p) siendo p la probabilidad de
o
que en cada parcela haya planta qu
mica, probabilidad que supondremos
constante de parcela a parcela. Es decir, suponemos que la colocacin de
o
unaplanta qu
mica en una parcela es un experimento de Bernoulli en donde
se dan dos situaciones posibles: xito, que haya planta qu
e
mica, o fracaso
que no la haya, siendo la probabilidad de xito p y supuesto que realizae
mos 1200 pruebas de ese tipo independientemente, manteniendo constante
la probabilidad de xito.
e
En esta situacin, el parmetro a estimar puede ser la media de labinoo
a
mial, n 1 p = 1200 1 p, que representar el n mero medio de plantas qu
a
u
micas
en el pa en cuestin despus de haber jugado las 1200 pruebas de Bernoulli.
s
o
e
Otra posibilidad es la de determinar el valor ms probable que puede
a
tomar X ; es decir, calcular P fX = xg para los diversos x y elegir como
estimacin del n mero de plantas qu
o
u
micas, aquel valorx para el que la pro-

2
babilidad anterior sea mayor, es decir, la moda de la distribucin. En ambos
o
casos necesito determinar un estimador de p, parmetro de una distribucin
a
o
1200
de Bernoulli Xi
B (1; p) siendo X = i=1 Xi B (1200; p).
Para ello utilizaremos el mtodo de la mxima verosimilitud. Como la
e
a
funcin de masa de la Bernoulli B (1; p) es (la binomial B (1; p)recibe el
o
nombre de distribucin de Bernoulli)
o

P

;

;

p(x) = px (1 0 p)10x

x = 0; 1

la funcin de verosimilitud de la muestra ser
o
a

L (p) =
de logaritmo
log L(p) =

Xx

Yp

1200
i=1

1200

[

=1

xi

a
a

i log

i

(1 0 p)10xi

p + (1 0 xi ) log(1 0 p)] :

a

X

Su derivada igualada a cero |ecuacin de verosimilitud| ser
o
a

da
dp

1200 x
ai 0 (1 0 xi) 1
log L(p) =
p
10p
i=1

a
P1200 x

es decir,

p

o bien,

i

0

1200

1

p=
^

P1200 X
=1

es decir, la proporcin muestral.
o

p

muestreo, ya que 1200 ^ =

i

0

P1200 x

0p

P1200 x

i

=0

:

=0

i

1200

Adems conocemos su distribucin en el
a
o
o
i es una distribucin binomial

B (1200; p)....