Problemas estadística

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TEMA – 3: VARIABLES ALEATORIES BIDIMENSIONALS - NP
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Problema - 1
La función de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias discretas X,Y está dada por: f(x,y) = c (2 x + y) donde x,y pueden tomar todos los valores enteros tales que0 x 2; 0 y 3 y f(x,y) = 0 de otra forma.
a) Hallar el valor de c.
x=02y=03c2x+y=1
c2·0+0+c2·0+1+c2·0+2+c2·0+3+c2·1+0+c2·1+1
+c2·1+2+c2·1+3+c2·2+0+c2·2+1+c2·2+2+c2·2+3=
42·C=1 →C=142
b) Hallar P(X = 2, Y = 1) y P(X 1, Y 2).

y\x | 0 | 1 | 2 |
0 | 0 | 0,047 | 0,095 |
1 | 0,023 | 0,071 | 0,11 |
2 | 0,047 | 0,095 |0,14 |
3 | 0,071 | 0,118 | 0,16 |

f2,1= 142 2·2 + 1=0,11

La probabilidad que X 1, Y 2, es la suma de valores que están en color de la tabla.

fX 1,Y 2=0.558

c) Hallar las funciones de probabilidad marginal de X e Y.

f1xi=Px=xi=j=03f(xi,yj)=142 2x + 0+142 2x + 1+142 2x + 2+142 2x + 3=421x+17
f1yj=Py=yj=i=02f(xi,yj)=142 2·0 +y+142 2·1 + y+142 2·2 + y=114y+17

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Problema - 2
Sea (X,Y) una variable aleatoria bidimensional con distribución de probabilidad:

X \ Y -1 1 Total

1 1/6 1/3 1/2 =P(X=1)
2 1/12 1/4 1/3 =P(X=2)
3 1/121/12 1/6 =P(X=3)
1/3 2/3 1
P(Y=-1) P(Y=-1)


a) ¿Son X, Y independientes?
Son independientes si verifican f(x,y) = f1(x) · f2(y) para todo (x; y) del espacio muestral.
f(x,y) = f1(x) · f2(y) f(2,-1) = f1(2) · f2(-1) 1/12 ≠ 1/3· 1/3

b) Hallar F(x).
F1(x) =j=1nf(xi)
F1(1)=1/2
F1(2)=5/6
F1(3)=1c) Hallar las medias de X e Y.
μx=EX=x·P(X=x)=1·12+2·13+3·16=53
μy=EY=y·P(Y=y)=1·12+1·23=13
d) Hallar las varianzas y desviaciones típicas de X, Y.
σx2=EX2-EX2=x2·PX=x-x·PX=x2=12+22·13+32·16-(53)2=59
σy2=EY-EY2=y2·PY=y-y·PY=y2=(-1)2·13+12·23-(13)2=89
σx=σx2=53
σy=σy2=223

e) Hallar las probabilidades: P(X 2, Y > 0), P(X 2), P(Y < 0).
P(X 2, Y >0)=1/3+1/4=7/12
P(X 2)=1/3+1/6=1/2
P(Y < 0)=1/3

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Problema - 3
Es disposa d’una urna que conté boles blaves i boles vermelles y s’efectuen successivament dues extraccions amb reemplaçament. Siguin les variables aleatòries:
: relacionada amb el resultat de la primera extracció de manera que si surt una bola vermella i si surt unabola blava.
: relacionada amb el resultat de la segona extracció de manera que si surt una bola vermella i si surt una bola blava.
a) Determinar la distribució conjunta de les variables i .

Primero buscaremos la función de probabilidad según lo que nos dice el enunciado.

f(x,y)

Y \ X 0 (V) 1(B)
0 (V) 49/144 35/144
1 (B) 35/144 25/144Fx,y=PX≤x,Y≤y=xi≤xyj≤yf(xiyj)

Y \ X 0 (V) 1(B) F1(x)
0 (V) 49/144 84/144 84/144
1 (B) 84/144 1 1
F2(y) 84/144 1

b) Distribucions marginals.

F1(x) F1(0)=84/144 ; F1(1)=1
F2(y) F2(0)=84/144 ; F2(1)=1

c) Distribució de condicionada a .

Primero calculamos las probabilidades marginales que nos servirán para el apartado c i d.

f1xi=PX=xi=j=1nf(xi,yj) f10=j=12f0,yj=84144f11=j=12f1,yj=60144

f2yj=PY=yj=i=1nf(xi,yj) f20=i=12fxi,0=84144

f21=i=12fxi,1=60144

P(X/Y=0) PX=0/Y=0=P(Y=0,X=0)P(Y=0)=f(0,0)f2(0)=49/14484/144=712=0,583

PX=1/Y=0=P(Y=0,X=1)P(Y=0)=f(1,0)f2(0)=35/14484/144=512=0,417

d) Distribució de condicionada a .

P(Y/X=1) PY=0/X=1=P(Y=0,X=1)P(X=1)=f(1,0)f1(1)=35/14460/144=712=0,583...