Problemas Irresolubles De La Matematica

INTRODUCCIÓN
Hay problemas planteados desde la antigüedad, los cuales no pueden ser resueltos por medio de regla y compás (como lo proponían los griegos). Algunos de ellos son la cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo. Paradójicamente han tenido resolución y su respuesta es que son irresolubles.

PROBLEMAS IRRESOLUBLES DE LAS MATEMÁTICAS

Son celebrestres problemas de la antigüedad:
* La cuadratura del círculo.
* La trisección del ángulo.
* La duplicación del cubo.
Dichos problemas fueron tratados por varias generaciones de matemáticos, hasta que al fin fueron resueltos; paradójicamente, la solución es que ellos son insolubles bajo las condiciones que establecieron los griegos ( sólo era permitido emplear regla y compás.)
Sinembargo, cabe mencionar que el hecho de que existan ciertos problemas de construcción geométrica irresolubles, hace que este juego se torne más interesante. Es justamente, la existencia de estas construcciones que no se pudieron realizar durante muchos años con el sólo uso de las herramientas euclidianas (Regla y compás) lo que hizo necesario que los investigadores matemáticos se plantearan demostrarque dichas construcciones eran irresolubles con sólo regla y compás.

CUADRATURA DEL CÍRCULO

Se denomina cuadratura del círculo al problema matemático, irresoluble de la geometría, que consiste en hallar con sólo regla y compás un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado, solo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas. La resolución de este problematrató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX.
Un poco de historia: la posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas) y, en especial, la cuadratura del círculo, no habría parecido plausible a los griegos de no haber sido por el hecho de que Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas construidas apropósito por él, llamadas lúnulas, podrían cuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad, llevándolos a pensar que podría cuadrarse el círculo. En el siglo XX Chevotariov y Dorodnov probaron que, en general, las lúnulas no pueden cuadrarse excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tiposmas aportados por Leonhard Euler en el siglo XVII. De esta forma quedó de manifiesto de la cuadratura de la lúnula no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble, cosa que confundió a los matemáticos durante siglos creyendo que las lúnulas podrían acercarlos a la cuadratura del círculo. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un númerotrascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois por ejemplo) y variable compleja.
Importancia de π: siendo πr² el área del círculo y b² el área del cuadrado, donde r y b son el radio del círculo y el lado del cuadrado respectivamente, se observa que, para el cuadrado de áreaigual a la del círculo, b= r√π . En otras palabras, el radio del círculo y el lado del cuadrado son proporcionales, siendo √π el factor de proporción.
Esto implica que, si fuera posible cuadrar el círculo, se podría obtener √π con regla y compás, es decir, se lograría obtener √π por medio de operaciones algebraicas. Sin embargo, los números trascendentes son un subconjunto de los números reales quese caracterizan, entre otras cosas, precisamente por no ser obtenibles a partir de tales operaciones. Si π es un número trascendente, como lo demostró Lindemann, √π también lo es. De aquí la imposibilidad de cuadrar el círculo de la manera griega.

DUPLICACIÓN DEL CUBO

Se denomina duplicación del cubo al problema de hallar, mediante el uso de regla y compás, el lado de un cubo tal que su...