problemas matematica

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS

LISTADO 3. INTRODUCCION A LA MATEMATICA UNIVERSITARIA. 520145
Tema: Sucesiones, Inducci´n y Teorema del Binomio
o
1.Halle la sucesi´n geom´trica cuyo segundo t´rmino es 6 y tal que
o
e
e

36
a4
= .
a6
25

2. Halle la suma de los n´meros naturales que son m´ltiplos de 3 comprendidos entre 100 y 200.
u
u3. Hallar la diferencia de una sucesi´n aritm´tica creciente cuyo primer t´rmino sea la unidad y
o
e
e
tal que los t´rminos de lugares 2, 10 y 34 (en ese orden) formen una sucesi´n geom´trica.e
o
e
4. Si los n´meros a, b y c son distintos y forman una sucesi´n geom´trica. Demuestra que los
u
o
e
1
1
1
n´meros
u
, ,
forman una sucesi´n aritm´tica.
o
e
b − a 2b b − c
5.Demuestre que para cada n ∈ N, la suma de los cubos de los n´meros n, n + 1, n + 2 es divisible
u
por 9.
6. Pruebe por inducci´n que ∀n ∈ N : n2 + n es divisible por 2, y utilice este resultadopara
o
demostrar que ∀n ∈ N : n3 + 11n es divisible por 6.
7. Pruebe que para todo n ∈ N, 32n + 7 es m´ltiplo de 8.
u
8. Pruebe que x2n − 1 es divisible por x + 1, x = −1, para todo n ∈ N.
9.Demuestre que
10. Pruebe que

n
k=1

n
k=1

√

√
1
√ = n + 1 − 1, para todo n ∈ N.
k+1+ k

2 · 3k−1 = 3n − 1, ∀n ∈ N.

11. Pruebe que para todo n ∈ N,

n
k=1

2k · (2k + 2) =4n(n + 1)(n + 2)
.
3

12. Demuestre que para todo n ∈ N, si a < b y a, b > 0 entonces an < bn .
13. Pruebe que (1 + x)n ≥ 1 + nx, para todo n ∈ N y x ≥ −1.
14. Determine las siguientes sumas:1 + 3k
b)
a) 56
k=12
6k

37
k=5 (1

− k)2

c)

40
k=3 (5k

+ 2−k )

15. Determine el t´rmino que contiene a x20 , si existe, en el desarrollo del binomio x2 −
e
16. Determine elt´rmino constante, si existe, en el desarrollo de x2 −
e
17. Determine el o los t´rmino(s) centrales en el desarrollo de y +
e

1
y 3/2

1
x2

10

.

17

.

2
x4

22

....