Problemas Matematicos
Páginas: 46 (11377 palabras)
Publicado: 25 de junio de 2013
Olimpiadas de Matemáticas en Baja California
Problemas
1
1991
Selectivo
1. La diagonal de un rectángulo mide
√
4100.
Si los lados tienen longitudes enteras en
a y b y además a < b < 2a,
pruebe que el área del rectángulo es 2000.
2. ¾Qué valores enteros deberán tener
a
y
b
para que
x2 − x − 1
sea un factor de
3. ¾De cuántas formas se puede acomodaren línea recta 9 canicas
ax5 + bx4 + 1?
rojas y 7 verdes
de tal manera que no estén
dos canicas verdes juntas?
4. Encontrar todos los divisores enteros positivos que sean múltiplos de 14, que hay en 20!
5. Sea
ABC
altura por
y
HBC ,
un triángulo rectángulo con ángulo recto en
B.
Llamaremos
r, r1
y
r2
B
y sea
H
respectivamente. Encuentra unaigualdad que relacione a
AC y la
ABC , ABH
el punto de intersección del lado
a los radios de las circunferencias inscritas a los triángulos
r, r1
y
r2 .
6. Demostrar que en un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de los
círculos inscrito y circunscrito.
2
1992
Selectivo
1. Encuentre el área de un triángulo que tieneperímetro 8 y las longitudes de sus lados son números enteros.
2. Encuentre todos los números de la forma
3. Considere un triángulo equilátero
el segmento
DE
ABC
aba,
que sean divisibles entre 11.
de lado 2 y
D, E
puntos sobre los lados
BC
y
CA,
de manera tal que
sea tangente al círculo inscrito del triángulo. Encuentre el perímetro del triángulo
4. Los 15 puntosde la gura siguiente se colorean con dos colores, por ejemplo
rojo y verde.
CDE .
Pruebe que no
importa en qué forma se realice la coloración siempre existen tres puntos del mismo color que son los vértices
de un triángulo equilátero.
1
5. En un círculo de radio 6 se inscriben dos círculos de radio 3 que son tangentes entre si. ¾Cuál es el radio de
un círculo que es tangente alos círculos anteriores, como se muestra en la gura?
3
1993
Selectivo
1. Si el número
p
se escribe como
p = p2 + p2 + p2
1
2
3
con
p1 < p2 < p3 ,
con todos ellos primos, entonces
p1 = 3.
2. En un libro de 2108 páginas se tuvieron que reescribir todos los números de la numeración de las páginas.
¾Cuántos 8 se tuvieron que escribir?
3. ¾Para qué valoresreales
q,
las ecuaciones siguientes tienen tres soluciones reales?
=
2
2
x+y+z
2
2
=
2
3
3
3
=
q
x +y +z
x +y +z
ABCD un cuadrilátero convexo. Pruebe
√
AD, BC , BD, CD, entonces g ≥ h 2.
4. Sea
que si
g
es el máximo y
h
el mínimo de las distancias
AB , AC ,
ABC un triángulo rectángulo con A recto y altura AD. Se construyen loscuadrados BCX1 X2 , CAY1 Y2
ABZ1 Z2 hacia el exterior del triángulo. Sea U la intersección de AX1 con BY2 y V la intersección de AX2
con CZ1 . Pruebe que los cuadriláteros ABDU , ACDV y BX1 U V son cíclicos.
5. Sea
y
4
1994
Selectivo
A, B y C tres puntos no colineales (no alineados) y E (= B ) un punto cualquiera que no pertenezca a la
AC . Construya los paralelogramos ABCD (enese orden) y AECF (también en ese orden). Demuestre
BE DF .
1. Sean
recta
que
2. Se sabe que el número de soluciones reales del siguiente sistema es nito. Pruebe que este sistema tiene un
número par de soluciones.
y 2 + 6 (x − 1) = y x2 + 1
x2 + 6 (y − 1) = x y 2 + 1
3. Un juego consiste de 9 botones luminosos (de color verde o rojo) dispuestos de la siguiente manera:
1
23
4
5
6
7
8
9
2
Si se aprieta un botón del borde del cuadrado cambian de color él y todos sus vecinos, y si se aprieta el botón
del centro cambian de color sus 8 vecinos pero él no.
Los ejemplos siguientes muestran con círculos negros las luces que cambian al presionar el botón que se indica.
Botón 1
Botón 2
Botón 5
¾Es posible (apretando sucesivamente...
Problemas
1
1991
Selectivo
1. La diagonal de un rectángulo mide
√
4100.
Si los lados tienen longitudes enteras en
a y b y además a < b < 2a,
pruebe que el área del rectángulo es 2000.
2. ¾Qué valores enteros deberán tener
a
y
b
para que
x2 − x − 1
sea un factor de
3. ¾De cuántas formas se puede acomodaren línea recta 9 canicas
ax5 + bx4 + 1?
rojas y 7 verdes
de tal manera que no estén
dos canicas verdes juntas?
4. Encontrar todos los divisores enteros positivos que sean múltiplos de 14, que hay en 20!
5. Sea
ABC
altura por
y
HBC ,
un triángulo rectángulo con ángulo recto en
B.
Llamaremos
r, r1
y
r2
B
y sea
H
respectivamente. Encuentra unaigualdad que relacione a
AC y la
ABC , ABH
el punto de intersección del lado
a los radios de las circunferencias inscritas a los triángulos
r, r1
y
r2 .
6. Demostrar que en un triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la suma de los diámetros de los
círculos inscrito y circunscrito.
2
1992
Selectivo
1. Encuentre el área de un triángulo que tieneperímetro 8 y las longitudes de sus lados son números enteros.
2. Encuentre todos los números de la forma
3. Considere un triángulo equilátero
el segmento
DE
ABC
aba,
que sean divisibles entre 11.
de lado 2 y
D, E
puntos sobre los lados
BC
y
CA,
de manera tal que
sea tangente al círculo inscrito del triángulo. Encuentre el perímetro del triángulo
4. Los 15 puntosde la gura siguiente se colorean con dos colores, por ejemplo
rojo y verde.
CDE .
Pruebe que no
importa en qué forma se realice la coloración siempre existen tres puntos del mismo color que son los vértices
de un triángulo equilátero.
1
5. En un círculo de radio 6 se inscriben dos círculos de radio 3 que son tangentes entre si. ¾Cuál es el radio de
un círculo que es tangente alos círculos anteriores, como se muestra en la gura?
3
1993
Selectivo
1. Si el número
p
se escribe como
p = p2 + p2 + p2
1
2
3
con
p1 < p2 < p3 ,
con todos ellos primos, entonces
p1 = 3.
2. En un libro de 2108 páginas se tuvieron que reescribir todos los números de la numeración de las páginas.
¾Cuántos 8 se tuvieron que escribir?
3. ¾Para qué valoresreales
q,
las ecuaciones siguientes tienen tres soluciones reales?
=
2
2
x+y+z
2
2
=
2
3
3
3
=
q
x +y +z
x +y +z
ABCD un cuadrilátero convexo. Pruebe
√
AD, BC , BD, CD, entonces g ≥ h 2.
4. Sea
que si
g
es el máximo y
h
el mínimo de las distancias
AB , AC ,
ABC un triángulo rectángulo con A recto y altura AD. Se construyen loscuadrados BCX1 X2 , CAY1 Y2
ABZ1 Z2 hacia el exterior del triángulo. Sea U la intersección de AX1 con BY2 y V la intersección de AX2
con CZ1 . Pruebe que los cuadriláteros ABDU , ACDV y BX1 U V son cíclicos.
5. Sea
y
4
1994
Selectivo
A, B y C tres puntos no colineales (no alineados) y E (= B ) un punto cualquiera que no pertenezca a la
AC . Construya los paralelogramos ABCD (enese orden) y AECF (también en ese orden). Demuestre
BE DF .
1. Sean
recta
que
2. Se sabe que el número de soluciones reales del siguiente sistema es nito. Pruebe que este sistema tiene un
número par de soluciones.
y 2 + 6 (x − 1) = y x2 + 1
x2 + 6 (y − 1) = x y 2 + 1
3. Un juego consiste de 9 botones luminosos (de color verde o rojo) dispuestos de la siguiente manera:
1
23
4
5
6
7
8
9
2
Si se aprieta un botón del borde del cuadrado cambian de color él y todos sus vecinos, y si se aprieta el botón
del centro cambian de color sus 8 vecinos pero él no.
Los ejemplos siguientes muestran con círculos negros las luces que cambian al presionar el botón que se indica.
Botón 1
Botón 2
Botón 5
¾Es posible (apretando sucesivamente...
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