Problemas Matematicos

Problema de Tales de Mileto

La sombra de la torre mide 60 cm.

La altura del hombre es de 172 cm.

La sombra de la torre mide 1590 cm.

Aplicando la proporcionalidad que nos da el teorema de Tales tendremos:

Altura de la torre = (172 · 1590) / 60 = 4558 cm.





Problema de Arquímedes

Si la corona hubiera sido de oro puro, fuera del agua pesaría 10 kilos y dentro delagua perdería la vigésima parte de su peso, es decir, 0,5 kilos. Pero la corona perdía dentro del agua 10 – 9,25 = 0,75 kilos porque contenía plata, que pierde dentro del agua la décima parte de su peso. La corona debía tener tanta plata como se necesita para perder, no 0,5 kilos, sino 0,75, es decir, 0,25 kilos más. Si a la corona de oro puro se sustituye un kilo de oro por uno de plata la pérdidade su peso dentro del agua sería de 0,1 – 0,05 = 0,05 kilos. Por tanto, para perder 0,25 kilos habría que sustituir 0,25 : 0,05 = 5 kilos de oro por otros tantos de plata. Por lo que la corona tenía 5 kilos de plata y 5 de oro. El orfebre se había quedado con 3 kilos de oro y los había sustituido con plata.





Problema de Euclides

Para realizar las divisiones sucesivas se utiliza unmétodo práctico que dispone los cocientes y los restos:

Cocientes




1

4

1

4

1

2

8




76084

63020

13064

10764

2300

1564

736

92


Restos

13064

10764

2300

1564

736

92

0







Por tanto, m.c.d. (76084, 63020) = 92





Problema de Diofanto

Tres posibles soluciones:
a) Si (5x + 15) es el mayor y(3x + 15) es el menor. En tal caso, como la suma del menor y del mayor es el doble del término medio,
5x + 15 + 3x + 15 = 2 · 8x
8x + 30 = 16x
8x = 30
x = 30/8 = 15/4
b) Si (5x + 15) es el mayor y (3x + 15) es el término medio. En tal caso, como las diferencias de los términos son iguales al estar en progresión aritmética,
(5x + 15) - (3x + 15) = (3x + 15) - 8x
5x + 15 - 3x - 15 = 3x + 15- 8x
7x = 15
x = 15/7
c) Si 8x es el mayor y (3x + 15) es el menor:
8x + 3x + 15 = 2 · (5x + 15)
8x + 3x + 15 = 10 x + 30
x = 15
Esta nos da la solución del problema, al tratar sólo con números enteros.





Problema de Aryabhata

La regla se puede expresar:

Aplicando la regla o la fórmula algebraica a los datos de la progresión propuesta resulta:


Número de términos: 5Último término: 22

La progresión es: 6, 10, 14, 18, 22




Problema de Brahmagupta

Semiperímetro = (2 + 1,5 + 1, 2 + 3,3) / 2 = 4

Área de un cuadrilátero = raíz cuadrada de [(4 – 2) · (4 – 1,5) · (4 – 1,2) – (4 – 3,3)] = 3,13

Área del mosaico = 14 · 3,13 = 43,82





Problema de Al-Khwarizmi

En este caso también colocaremos un cuadrado de lado x, pero sobre suslados tenemos que construir rectángulos cuyos otros lados midan 4,5 (18 : 4 = 4,5) como muestra la figura. Los cuadrados de las esquinas tendrán de lado 4,5 y su área será 4,5 · 4,5 = 20,25

Los cuatro medirán 20,25 · 4 = 81

Por lo tanto, el área de todo el cuadrado será 144 + 81 = 225.

El lado será su raíz cuadrada, esto es, 15.

El lado del cuadrado central, x, será: 15 – 4,5 – 4,5 = 6Problema de Fibonacci

23/30 = 15/30 + 5/30 + 3/30 = ½ + 1/6 + 1/10

98/100 = 50/100 + 25/100 + 20/100 + 2/100 + 1/100 = ½ +1/4 + 1/5 + 1/50 + 1/100

99/100 = 50/100 + 25/100 + 20/100 + 4/100 = ½ + ¼ + 1/5 + 1/25





Problema de Oresme

Se trata, en los tres casos, de la suma de los términos de progresiones geométricas indefinidas cuyas razones son menores que uno.Para su cálculo utilizamos la fórmula: S = a1 / (1 – r)

Así pues, en la primera suma la razón es (1-1/n). Por tanto:

S = (a/n) / (1 – 1 + 1/n ) = (a/n) / (1/n) = a




En la segunda suma la razón es ½. Por tanto:

S = (½) / (1 – ½) = (1/2) / (1/2) = 1


En la tercera suma la razón es (1 - 1/1000). Por tanto:

S = (1/1000) / (1 – 1 + 1/1000) = (1/1000) /...