Problemas Mecanica 2

Problemas y ejercicios de Mec´anica II
Propuestos por los profesores de la asignatura en ex´amenes
Compilados y resueltos por Manuel Ruiz Delgado

Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros Aeron´auticos
Universidad Polit´ecnica de Madrid
21 de junio de 2010

II

´
Indice
general
1. Movimiento rectil´ıneo
1.1. Caso F(x)
˙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2. Caso F(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
1
4
10

2. Movimiento del punto libre
2.1. Part´ıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Movimientos centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.Din´amica orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
19
30
39

3. Punto sometido a ligaduras
3.1. Punto sobre superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Punto sobre curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
49
65

4. Din´amica relativa

81

5. Ex´amenes: Din´amica del Punto
95
5.1. Ex´amenesrecientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2. Ex´amenes m´as antiguos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6. Din´amica anal´ıtica: sistemas hol´onomos

115

7. Din´amica anal´ıtica: Sistemas no hol´onomos

145

8. Percusiones

155

9. Din´amica del s´olido

193

10. Ex´amenes: Din´amica de Sistemas
245
10.1. Problemas resueltos . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

III

IV

Cap´ıtulo 1
Movimiento rectil´ıneo
1.1. Caso F(x)
˙
Ejercicio 1.1.1: Una part´ıcula de masa M se coloca en reposo sobre un plano inclinado un a´ ngulo α
con la horizontal. El coeficiente de rozamiento es µ < tan α . Razonar si hayvelocidad l´ımite. Obtener la
ley horaria del movimiento.

N
R

mg sin α
mg cos α

Ec. del movimiento:
¿Desliza?

|R|
|N|

≤µ ?

mg sin α − R = mx¨
−mg cos α + N = 0

|mg sin α |
|mg cos α |

= tan α > µ

Desliza con resistencia f (v) = R = µ mg cos α < mg sin α

Es obvio que no existe VL / f (vL ) = mg sin α , pues la resistencia es constante y menor que la
componente tangencial del peso.
La leyhoraria es trivial, pues se mueve con aceleraci´on constante g (sin α − µ cos α ) partiendo del reposo:
1
x = g (sin α − µ cos α ) t 2
2

1

Ejercicio 1.1.2: Seg´un la ley de Stokes, la resistencia sobre una esfera de radio r que se mueve en un
fluido de coeficiente de viscosidad η es F(v) = 6πη r v. Calcular la velocidad l´ımite de una esfera de
densidad ρ , doble de la del fluido, y la ley horariacuando se deja caer desde el reposo.

R

Las fuerzas que act´uan sobre la esfera son:
• Peso de la esfera:
ρ 43 π r3 g

ma g

• Flotaci´on (peso del agua desalojada):
me g

• Resistencia:

ρ 4
3
2 3πr g

f (v) = 6πη rv

La velocidad l´ımite se alcanza cuando la resistencia equilibra al peso menos la flotaci´on:

ρ4 3
π r g = 6πη r vL
23

⇒

vL =

1 ρg 2
r
9 η

La ecuaci´on del movimiento lapodemos escribir como:
v dv
6πη r
(v
−
v)
=
c
(v
−
v)
⇒
= c dt
L
L
ρ 43 π r3
0 vL − v
vL
− L (vL − v) = ct +C ; −L vL = C ; L
= ct ⇒
v = vL 1 − e−ct
vL − v

mv˙ = f (vL ) − f (v) ⇒ v˙ =

Siendo c =

9η
.
2ρ r2

Integrando otra vez, se obtiene la ley horaria.

x = vL t +
v

e−ct
c

+C ;

0 = vL 0 +

1
+C
c

vL

⇒

x=

vL
ct + e−ct − 1
c

x

vL t
t

t

2

Ejercicio 1.1.3: Una esfera de masa m, radio r ycoeficiente de resistencia aerodin´amica CD cae en el
aire de densidad ρ . Calcular la velocidad l´ımite y la ley horaria.
Aplicarlo al caso de un bal´on de f´utbol: m = 410 − 450 g, CD = 0, 5, 2π r = 68 − 70 cm, ρ =
1, 225 kg/m3 .
N OTA : Al superar una velocidad entre 20 y 25 m/s, seg´un la rugosidad de las superficie, el r´egimen pasa de
laminar a turbulento, y CD cae bruscamente a un valor...