problemas mezclas

Análisis por compartimentos

1. Una solución salina entra a una razón constante de 8 litros /minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.02 kg/litro?
. Una solución de acido nítrico entra a una razón constante de 6 litros /minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de acido nítrico al 0.5%. la solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale deltanque a razón de 8 litros/minuto. si la solución que entra al tanque tiene acido nítrico al 20%, determine el volumen de acido nítrico en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará el porcentaje de acido nítrico en el tanque a 10%? 

0.5 % 
V = 200 L 
6Lmin 
8Lmin 
20% 

Razón de entrada 
6Lmin.20 kg100 L=1.2kgmin 
Razón de salida 
8Lmin.x(t)kg(200-2t)L=4 x(t)(100-t) .kgmin Modelo matemático 
dxdt=Razon de entrada-Razon de salida 

Reemplazando tenemos 
dxdt=1.2-4x(100-t) 

Notamos que es una EDO lineal 

dxdt+4x(100-t) =1.2 

Hallamos el u (t) 
ut=e4(100-t) dt=e-4ln(100-t)=(100-t)-4 

Multiplicamos ala EDO por el u (t) 
(100-t)-4.x=1.2(100-t)-4dt 
(100-t)-4.x=0.4(100-t)-3+k 

Despejamos X 

x(t)=0.4 (100-t)+k (100-t)4 

Ahora hallamos K para elloutilizamos la condición inicial sgte 
X (0) = 200x0.5% = 1 
1=0.4 (100)+k (100)4 k=-39 x 10-8 
Así, la concentración de sal en el instante t es 
x(t)100-t=0.4 (100-t)-39 x 10-8 (100-t)4100-t 
Para determinar el momento en que la concentración de la sal es 10%, igualamos el lado derecho a 0.1 y despejamos t, con lo que tenemos 


0.4 -39 x 10-8 (100-t)3=0.1 
-39 x 10-8 (100-t)3=-0.3 (100-t)3=769230.77 100-t=91.63 

Despejamos T 
t=8.37 min 

4. Una solución salina entra a una razón constante de 4 litros /minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de agua pura. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque a razón 3 litros / minuto. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.2 kg/litro,determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.1 kg/litro? 

X (0) = 0 kg 
V = 100 L 
4Lmin 
3Lmin 
0.2 kgL 

Razón de entrada 
4Lmin.0.2 kg L=0.8kgmin 
Razón de salida 
3Lmin.x(t)kg(100+t)L=3 x(t)(100+t) .kgmin 

Modelo matemático 
dxdt=Razon de entrada-Razon de salida 

Reemplazando tenemos 
dxdt=0.8-3x(100+t) Notamos que es una EDO lineal 

dxdt+3x(100+t) =0.8 

Hallamos el u (t) 
ut=e3(100+t) dt=e3ln(100+t)=(100+t)3 

Multiplicamos ala EDO por el u (t) 
(100+t)3.x=0.8(100+t)3dt 
(100+t)3.x=0.2(100+t)4+k 

Despejamos X 

x(t)=0.2 (100+t)+k (100+t)-3 

Ahora hallamos K para ello utilizamos la condición inicial sgte 
X (0) = 0 
0=0.2 (100)+k (100)-3 k=-20 x 1003 

Así, la concentraciónde sal en el instante t es 

x(t)100+t=0.2 100+t-20 x 1003. (100+t)-3100-t 
Para determinar el momento en que la concentración de la sal es 10%, igualamos el lado derecho a 0.1 y despejamos t, con lo que tenemos 
0.2 -20 x 1003 (100-t)-4=0.1 
-20 x 1003. (100+t)-4=-0.1 
(100+t)-4=0.005 200x 1003= (100+t)4 

Despejamos T 
t=18.9 min 

5. Una alberca cuyo volumen es de 10,000 galonescontiene agua con cloro al 0.01% a partir del instante t = 0, se bombea agua del servicio público con cloro al 0.001% hacia la alberca, a razón de 5 galones/minuto. El agua sale de la alberca con la misma razón. ¿cuál es el porcentaje de cloro en la alberca después de 1 hora? ¿En qué momento el agua de la alberca tendrá 0.002% de cloro? 
0.01% 
V = 10,000 gal L 
5 galmin 
5 galmin 

0.001% ...