Problemas no restringidos multiplicadores de lagrange
Páginas: 6 (1400 palabras)
Publicado: 23 de marzo de 2011
Problemas no restringidos.
Multiplicadores de LAGRANGE (λ).
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + kvariables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que buscar los extremos condicionados de una función con k restricciones, es equivalente a buscar los extremos sin restricciones de una nueva funciónconstruida como una combinación lineal de la función y las restricciones, donde los coeficientes de las restricciones son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variablesindependientes de la función sean iguales a cero.
Ejemplo:
Una compañía planea gastar 10,000 dólares en publicidad. Cuesta 3,000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1,000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por . ¿Cómo puede laempresa maximizar su ingreso?
Solución:
Se tiene el programa no lineal siguiente
Entonces Hacemos
Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y la ecuación (2) da Así, , o
Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o . Entonces (4) y (5) nos dan
El hessiano para es
Ya que cada mejor principal de primer orden esnegativo, y , es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal.
Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).
En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño.
Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente:
Maximiza f(x)
Sobre todos losvalores de x = (x1, x2, …, xn), la condición necesaria para que una solución específica x = x* sea optima cuando f(X) es una función diferenciable es: [pic] En x=x*, para j=1,2…….n
Cuando f(x) es cóncava, esta condición también es suficiente, por lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de n ecuaciones que se obtuvo al establecer las n derivadas parciales igual a cero. Cuando setrata de funciones no lineales f(x), las ecuaciones no son lineales, y es poco probable que se pueda tener una solución analítica simultánea.
a) Optimización no restringida de una variable:
Estos problemas x (n=1) donde la función diferenciable debe ser maximizarse es cóncava.
La condición necesaria y suficiente para que la solución particular x=x* sea optima (un globalmáximo) es
En x = x*
Si en la ecuación se puede despejar x* de forma directa el problema llega a su fin, pero si f(x) no es una variable sencilla y su derivada no es una función lineal o cuadrática tal vez sea imposible resolver la ecuación analítica.
De ser así existen métodos numéricos para un procedimiento de búsqueda para resolver el problema.
Método de la bisección (pasos) Paso...
Multiplicadores de LAGRANGE (λ).
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de varias variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + kvariables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange. El método dice que buscar los extremos condicionados de una función con k restricciones, es equivalente a buscar los extremos sin restricciones de una nueva funciónconstruida como una combinación lineal de la función y las restricciones, donde los coeficientes de las restricciones son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variablesindependientes de la función sean iguales a cero.
Ejemplo:
Una compañía planea gastar 10,000 dólares en publicidad. Cuesta 3,000 dólares un minuto de publicidad en la televisión y 1,000 dólares un minuto de publicidad en la radio. Si la empresa compra x minutos de comerciales en la televisión y y minutos de comerciales en la radio, su ingreso, en miles de dólares, está dado por . ¿Cómo puede laempresa maximizar su ingreso?
Solución:
Se tiene el programa no lineal siguiente
Entonces Hacemos
Obsérvese que 10 - 3x -y = 0 se convierte en la restricción 3x + y = 10. La ecuación (1) da y la ecuación (2) da Así, , o
Sustituyendo (4) y (5) en la (3), obtenemos, o . Entonces (4) y (5) nos dan
El hessiano para es
Ya que cada mejor principal de primer orden esnegativo, y , es una función cóncava. La restricción es lineal y, por lo tanto da la solución óptima para el programa no lineal.
Así, la empresa tendría que comprar 69/28 minutos de tiempo de televisor y 73/28 minutos de tiempo de radio. Ya que l = ¼ , el gasto de un D extra (en miles) (para un D pequeño) aumentaría los ingresos de la empresa en aproximadamente 0.25 D dólares (en miles).
En general, si la empresa tiene a dólares para gastar en la publicidad, se puede demostrar que . Vemos que si gasta más dinero en la publicidad, el incremento en el ingreso por cada dólar adicional para la publicidad se hace más pequeño.
Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente:
Maximiza f(x)
Sobre todos losvalores de x = (x1, x2, …, xn), la condición necesaria para que una solución específica x = x* sea optima cuando f(X) es una función diferenciable es: [pic] En x=x*, para j=1,2…….n
Cuando f(x) es cóncava, esta condición también es suficiente, por lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de n ecuaciones que se obtuvo al establecer las n derivadas parciales igual a cero. Cuando setrata de funciones no lineales f(x), las ecuaciones no son lineales, y es poco probable que se pueda tener una solución analítica simultánea.
a) Optimización no restringida de una variable:
Estos problemas x (n=1) donde la función diferenciable debe ser maximizarse es cóncava.
La condición necesaria y suficiente para que la solución particular x=x* sea optima (un globalmáximo) es
En x = x*
Si en la ecuación se puede despejar x* de forma directa el problema llega a su fin, pero si f(x) no es una variable sencilla y su derivada no es una función lineal o cuadrática tal vez sea imposible resolver la ecuación analítica.
De ser así existen métodos numéricos para un procedimiento de búsqueda para resolver el problema.
Método de la bisección (pasos) Paso...
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