Problemas Olimpiadas Avanzados

Problemas para la 22a Olimpiada Mexicana de Matem´ticas a
(Problemas Avanzados)

Editado por: Carlos Jacob Rubio Barrios

2008

Carlos Jacob Rubio Barrios Facultad de Matem´ticas, Universidad Aut´noma de Yucat´n. a o a

Contenido

Presentaci´n o Resumen de Resultados Resultados de M´xico en las Internacionales . . . . e Resultados del Concurso Nacional de la 21a OMM Agradecimientos .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Informaci´n sobre la Olimpiada . . . . . . . . . . . o

V VII

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. vii . x . xii . xii 1 1 9 15 15 16 17 19

1. Enunciados de los Problemas 1.1. Problemas de Pr´ctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.2. Problemas de los ultimos tres Concursos ´ Nacionales de la OMM . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 2. Olimpiadas Internacionales en las que participa M´xico e 2.1. XIX Olimpiada de la Cuenca del Pac´ ıfico . . . . . . . . . 2.2. IX Olimpiada Matem´tica de Centroam´rica y del Caribe a e 2.3. XXII Olimpiada Iberoamericana de Matem´ticas . . . . . a a Olimpiada Internacional de Matem´ticas . . . . . . 2.4. 48 a

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3. Soluciones de losProblemas 21 3.1. Soluciones de los Problemas de Pr´ctica . . . . . . . . . . . . . 21 a 3.2. Soluciones de los ultimos tres Concursos ´ Nacionales de la OMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4. Soluciones de las Olimpiadas Internacionales 79 4.1. XIX Olimpiada de la Cuenca del Pac´ ıfico . . . . . . . . . . . . . 79

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Contenido 4.2. IX Olimpiada Matem´tica de Centroam´rica y delCaribe . . . . a e 4.3. XXII Olimpiada Iberoamericana de Matem´ticas . . . . . . . . . a 4.4. 48a Olimpiada Internacional de Matem´ticas . . . . . . . . . . a Ap´ndice e Bibliograf´ ıa 86 89 94 108 116

Presentaci´n o

La Sociedad Matem´tica Mexicana organiza la 22a Olimpiada Mexicana de a Matem´ticas. Los ganadores del certamen formar´n las selecciones que particia a par´n en las distintasOlimpiadas Internacionales del a˜o 2009: la XXI Olimpiada a n Matem´tica de la Cuenca del Pac´ a ıfico que se llevar´ a cabo en el mes de marzo a en M´xico y los ex´menes se corregir´n en Corea, la 50a Olimpiada Internacional e a a que se llevar´ a cabo en Alemania durante el mes de julio, la XXIV Olimpiada a Iberoamericana de Matem´ticas que se realizar´ en septiembre en M´xico y la a a e XI OlimpiadaMatem´tica de Centroam´rica y el Caribe que se celebrar´ en a e a junio en la Rep´blica Dominicana. u En la 22a Olimpiada Mexicana de Matem´ticas pueden participar los estudiantes a o de agosto de 1989. Los concursantes deber´n de M´xico nacidos despu´s del 1 e e a estar inscritos en una instituci´n preuniversitaria durante el primer semestre del o ciclo escolar 2008-2009 y, para el 1o de juliode 2009, no deber´n haber iniciado a estudios de nivel universitario. La intenci´n de esta publicaci´n es que sirva como gu´ para los alumnos que o o ıa desean prepararse para el Concurso Nacional de la Olimpiada Mexicana de Matem´ticas. Los problemas que aparecen aqu´ no son ejercicios rutinarios en los a ı que se apliquen directamente los conocimientos que se adquieren en la escuela, sonproblemas que requieren de una buena dosis de ingenio y de esfuerzo para ser resueltos. Como en todos los aspectos del aprendizaje de las matem´ticas, a el esfuerzo individual y el enfrentamiento solitario con los problemas son importantes, pero tambi´n es muy importante la discusi´n con los compa˜eros y los e o n profesores. Una forma de manifestar creatividad en matem´ticas es resolviendo problemas. aOtra forma, que requiere de una mayor madurez, es invent´ndolos. Invitamos a a todos los lectores de este folleto: profesores, estudiantes, ol´ ımpicos y exol´ ımpicos

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Etapas de la Olimpiada

a que nos env´ problemas con soluci´n. Las aportaciones ser´n consideradas ıen o a para su inclusi´n en ex´menes o en futuros folletos. o a Este folleto incluye problemas de los concursos...