Problemas Optimizacion Resuletos

Julián Moreno Mestre
www.juliweb.es tlf. 629381836

Ejercicios de optimización:
Estrategias para resolver problemas de optimización:
-

Asignar símbolos a todas las magnitudes a determinar.
Escribir una ecuación primaria para la magnitud que debe ser optimizada.
Reducir la ecuación primaria a una ecuación con solo una variable independiente. Eso puede exigir el uso de las ecuacionessecundarias (ligaduras) que relacionen las variables independientes de la ecuación primaria.
Determinar el dominio de la ecuación primaria. Esto es, hallar los valores para los que el problema planteado tiene sentido.
Determinar el valor máximo o mínimo mediante las técnicas dadas (Derivadas).

Problemas resueltos (paso a paso) de optimización:
1º

Con una cartulina de 8X5 metros se deseaconstruir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

2º

Un rectángulo esta acotado por los ejes y por la gráfica de y = (6 − x) / 2 ¿Qué longitud debe tener el rectángulo para que su
área sea máxima?

3º

¿Qué puntos de la gráfica de y = 4 − x están mas cerca del punto (0,2)? Dato: distancia entre dos puntos ( x, y ), ( x0 , y 0 ) :
2

d=

(x − x0 )2 +( y − y0 )2

4º

Un rectángulo esta limitado por el eje x y por el semicírculo y =
mínima su área?

5º

Dos postes de 12 y 28 metros de altura, distan 30 metros entre si. Hay que conectarlos mediante un cable que este atado en algún
punto del suelo entre los postes. ¿En que punto ha de amarrarse al suelo con el fin de utilizar la menor longitud de cable posible?

6º

Se pide calcularel volumen máximo de un paquete rectangular enviado por correo, que posee una base cuadrada y cuya suma de
anchura + altura + longitud sea 108.

7º

Un fabricante desea diseñar una caja abierta con base cuadrada y que tenga un área total de 108 metros cuadrados de superficie.
¿Qué dimensiones producen la caja de máximo volumen? Dato: La abertura de la caja es uno de los ladoscuadrangulares.

8º

Una página rectangular ha de contener 24 dm2 de texto, con márgenes superior e inferior de 1.5 dm y laterales de 1dm pulgada,
¿Qué dimensiones de la página requieren la mínima cantidad de papel?

9º

Con 4 metros de alambre se desean construir un circulo y un cuadrado. ¿Cuanto alambre hay que emplear en cada figura para
lograr que entre ambas encierren el área mínima posible?10º

Dado un cilindro de volumen 4 m3 , determinar sus dimensiones para que su área total sea mínima.

11º

Inscribir en una esfera de radio 1 m un cilindro circular que tenga
a) Volumen máximo
b) Área lateral máxima.
En ambos casos determinar sus dimensiones, radio de la base y altura.

12º

El alcance R de un proyectil lanzado con velocidad inicial v0 y con un ángulo

25 − x 2¿Para qué longitud y anchura del rectángulo se hace

θ

respecto de la horizontal es

R = (v sin 2θ ) / g , donde g es la aceleración de la gravedad. Calcular el ángulo θ que produce alcance máximo.
2
0

13º

Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial 40m/s, ¿Calcule cual es la máxima altura que alcanzará si la aceleración
gravitacional es 10m/s?
Ecuación que describe la alturaen función del tiempo: h(t ) = vt −

14º

g2
t
2

Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que tiene un lado sobre el eje x y está inscrito en el triangulo determinado
por las rectas y = 0, y = x, y = 4 − 2 x .

Julián Moreno Mestre
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Soluciones:
1º

Como hay que optimizar el volumen de una caja abierta, la ecuación a optimizar es:

V(x, y, z ) = xyz
Donde x define el ancho de la caja, z lo largo e y lo alto. Dichas variables como

definen dimensiones, no pueden ser negativas. Tampoco pueden ser nulas porque no
habría caja, por tanto:

x>0

y>0

z>0

Fijándonos en el dibujo adjunto de la cartulina, es posible deducir dos ecuaciones de
ligadura:

2y + x = 5
Despejando en ellas x y z :
x = 5 − 2y

2y + z = 8...